3.4.3. СВОЙСТВА УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ПОСТРОЕНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

В этом разделе будут исследованы свойства оптимального линейного регулятора с постоянными параметрами в установившемся состоянии. Кроме того, будут получены необходимые и достаточные условия, при которых уравнение Риккати имеет установившееся

решение и при которых оптимальная замкнутая система устойчива в установившемся режиме. Большая часть этих результатов получена в работах [119, 123, 186].

Основные результаты можно сформулировать следующим образом.

Теорема 3.7. Рассмотрим задачу синтеза регулятора с постоянными параметрами для системы

с критерием и

при . Соответствующее уравнение Риккати имеет вид

с конечным условием

а) Предположим, что Тогда при решение уравнения Риккати стремится к постоянной величине Р в установив-. шемся состоянии в том и только том случае, если система не имеет полюсов, которые одновременно были бы неустойчивыми, неуправляемыми и восстанавливаемыми.

б) Если система (3.213) является стабилизируемой и обнаруживаемой, то решение уравнения Риккати (3.215) стремится к единственной величине Р при для всех .

в) Если Р существует, то эта матрица является неотрицательно определенным симметрическим решением алгебраического уравнения Риккати

Если система (3.213) является стабилизируемой и обнаруживаемой, то Р — единственное неотрицательно определенное симметрическое решение алгебраического уравнения Риккати (3.217).

г) Если решение Р существует, то оно является положительно определенным тогда и только тогда, когда система (3.213) полностью восстанавливаема.

д) Если Р существует, то установившийся закон управления

где

асимптотически устойчив тогда и только тогда, когда система является (3.213) стабилизируемой и обнаруживаемой.

е) Если система (3.213), стабилизируемая и обнаруживаемая, то установившийся закон управления минимизирует критерий

при всех . При установившемся законе управления критерий (3.220) равен

Докажем сначала часть (а) этой теоремы. Предположим, что система не является полностью восстанавливаемой. Тогда ее можно представить в канонической форме восстанавливаемости следующим образом:

где пара - полностью восстанавливаемая. Разделяя решение уравнения Риккати (3.215) в соответствии с разделением (3.222):

легко показать, что уравнение Риккати (3.215) упрощается до следующих трех матричных уравнений:

Видно, что при конечных значениях уравнения (3.225) и (3.226) удовлетворяются условиями

Тогда уравнение (3.224) сводится к виду

Из этого следует, что полюса невосстанавливаемости системы, т. е. характеристические значения матрицы не влияют на сходимость при и поэтому они не влияют также на сходимость Поэтому для исследования сходимости можно предположить на время, что система (3.213) является полностью восстанавливаемой.

Преобразуем теперь систему (3.213) в каноническую форму управляемости. и представим ее следующим образом:

где пара -полностью управляемая. Предположим теперь, что система нестабилизируема, поэтому не является асимптотически устойчивой. Тогда, очевидно, существуют такие начальные состояния в форме при которых независимо от выбора и . В предположении о полной восстанавливаемости системы при таких Начальных состояниях интеграл

никогда не будет сходиться к конечному числу при Это означает, что также никогда не будет сходиться к конечному числу при если система (3.213) нестабилизируема. Однако если система (3.213) является стабилизируемой, то всегда можно найти закон управления с обратной связью, который делает замкнутую систему устойчивой. В случае такого закона выражение

(3.230) сходится к конечному числу при это число представляет собой верхнюю границу для минимальной величины критерия. Как и в разд. 3.4.2, можно полагать, что минимальная величина (3.230) является монотонно неубывающей функцией Это доказывает, что мипимальная величина (3.230) имеет предел при , как следствие, что матрица определяемая из (3.215) при , имеет пределом Р при Тем самым завершается доказательство части (а) теоремы.

Теперь рассмотрим весьма важное доказательство части теоремы. Предположим, что система не является полностью восстанавливаемой. Тогда, как было показано в начале доказательства части если система представлена в канонической форме восстанавливаемости то можно представить в форме

Из этого следует, что матрица Р, если она существует, является сингулярной. Тем самым доказывается, что если Р строго положительно определена, то система должна быть полностью восстанавливаемой. Чтобы доказать обратное, предположим, что система является полностью восстанавливаемой, сингулярной матрицей. Тогда существует такое ненулевое начальное состояние, при котором

Поскольку из этого следует

Однако это означало бы что существует ненулевое начальное состояние, которое вызывает нулевую реакцию равную нулю при всех Это находится в противоречии с предположением о полной восстанавливаемости системы; следовательно, предположение о том, что матрица Р сингулярна, неверно. Тем самым доказывается часть теоремы.

Рассмотрим теперь доказательство части Предположим, что матрица Р существует. Это означает, что система не имеет неустойчивых полюсов неуправляемости, которые являлись бы полюсами восстанавливаемости. При доказательстве части (а) теоремы было показано, что при представлении системы в канонической формз восстанавливаемости матрица Р записывается в форме

Эхо значит, что матрица усиления обратной связи в установившемся состоянии имеет вид

В свою очередь это означает, что матрица усиления обратной связи в установившемся состоянии совсем не затрагивает невосстанавливаемую часть системы. Из этого следует, что если закон управления в установившейся состоянии делает замкнутую систему. асимптотически устойчивой, то невосстанавливаемая часть системы должна быть асимптотически, устойчивой, т. е. разомкнутая система должна быть обнаруживаемой. Далее, если замкнутая система должна быть асимптотически устойчивой, то разомкнутая система должна быть стабилизируемой, в противном случае никакой закон управления и, следовательно, даже установившийся закон управления не сможет сделать замкнутую систему устойчивой. Таким образом, видно, что стабилизцруемость и обнаруживаемость являются необходимыми условиями асимптотической устойчивости установившегося закона управления.

Стабилизируемость и обнаруживаемость гарантируют асимптотическую устойчивость. Было показано, что установившийся закон управления влияет на невосстанавливаемую часть системы. Поэтому если система обнаруживаема, то можно также исключить невосстанавливаемую часть и предположить, что система полностью восстанавливаема. Представим систему в канонической форме управляемости аналогично (3.229). Разделяя матрицу в соответствии с разделением в (3.229), напишем

Нетрудно определить из уравнения Риккати (3.215), что является решением уравнения

Видно, что это обычное уравнение Риккати. Парй является полностью управляемой, теоремы 3.5 известно, что имеет такое асимптотическое решение при что матрица где асимптотически

устойчива. Закон управления для всей системы (3.229) определяется в виде

При таком законе управления замкнутая система описывается уравнением

Очевидно, что если разомкнутая система стабилизируема, то замкнутая система асимптотически устойчива, поскольку асимптотически устойчивы матрицы Тем самым доказывается, что обнаруживаемость и стабилизируемость являются достаточными условиями для гарантии асимптотической устойчивости установившегося закона управления разомкнутой системой. Тем самым доказывается часть теоремы.

Рассмотрим теперь часть теоремы. Установившийся закон управления, очевидно, минимизирует критерий

а минимальная величина этого критерия равна Рассмотрим теперь критерий

при Если система является стабилизируемой и обнаруживаемой, то при установившемся законе управления критерий (3.241) равен

где z и — управляемая и входная переменные соответственно, определяемые установившимся законом управления. Докажем, что установившийся закон управления минимизирует не только критерий (3.240), но и (3.241). Предположим, что существует другой закон управления, который дает меньшее значение критерию

(3.241), так что при этом законе управления имеет место неравенство

Из неравенства следует, что при этом законе управления с обратной связью имеем

Поскольку известно, что левая часть этого выражения минимизируется с помощью установившегося закона управления и может быть достигнута величина критерия, не меньшая то приходим к противоречию, так как критерий (3.241) тоже должен минимизироваться с помощью этого установившегося закона управления. Тем самым доказывается часть теоремы.

Обратимся снова к части (б) теоремы. Утверждение части (б) непосредственно следует из части Рассмотрим теперь часть (в). В общем случае алгебраическое уравнение Риккати имеет много решений (см. задачу 3.8). Если Р существует, то оно является неотрицательно определенным решением алгебраического уравнения Риккати, так как Р должно быть решением дифференциального уравнения Риккати (3.215). Предположим, что система (3.213) является стабилизируемой и обнаруживаемой, и пусть Р — некоторое неотрицательно определенное решение алгебраического уравнения Риккати. Рассмотрим дефференциальное уравнение Риккати (3.215) с конечным условием Тогда решение в установившемся состоянии Р должно также определяться решением Р. Этим доказывается, что любое неотрицательно определенное решение Р алгебраического уравнения Риккати является установившимся решением Р, поэтому установившаяся величина Р является единственным неотрицательно определенным решением алгебраического уравнения Риккати. Тем самым заканчивается доказательство части (в) и всей теоремы в целом.

Примечание. Завершим этот раздел следующими комментариями. Части (б) и (в) теоремы устанавливают, что стабилизируемость и обнаруживаемость являются достаточными условиями сходимости уравнения Риккати к одной матрице Р при всех , а также того, чтобы алгебраическое уравнение Риккати имело единственное неотрицательно определенное решение. То, что

эти условия не являются необходимыми, можно увидеть из простых примеров.

Кроме того, вполне возможен случай, что в отсутствие Р существует

Нетрудно сделать вывод, что установившийся закон управления если он существует, изменяет расположение только таких полюсов разомкнутой системы, которые являются одновременно управляемыми и восстанавливаемыми. Поэтому может возникнуть нежелательная ситуация, когда система имеет неуправляемые и невосстанавливаемые полюса, в особенности, когда эти полюса неустойчивы. К сожалению, обычно невозможно изменить структуру системы так, чтобы сделать неуправляемые полюса управляемыми. Если система имеет полюса невосстанавливаемости с нежелательным расположением, то во многих случаях можно выбрать новые управляемые переменные таким образом, чтобы система уже не имела таких полюсов.