4.2.2. УСЛОВИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ ПОЛЮСОВ И СТАБИЛИЗАЦИИ НАБЛЮДАТЕЛЯ

В этом разделе выводятся необходимые и достаточные условия для размещения пйдюсов и стабилизации наблюдателей полного порядка с постоянными параметрами. Сначала получим следующий результат, который является дуальным теореме 3.1 (разд. 3.2.2).

Теорема 4.3. Рассмотрим наблюдатель полного порядка с постоянными параметрами

для системы с постоянными параметрами

В этом случае полюса наблюдателя, т. е. характеристические числа матрицы можно произвольно размещать на комплексной плоскости (при ограничении, что комплексные характеристические числа образуют комплексно-сопряженные пары) путем, соответствующего выбора постоянной матрицы К тогда и только тогда, когда система (4.30) является полностью восстанавливаемой.

Для доказательства этой теоремы отметим, что

так что характеристические числа матрицы равны числам матрицы . Однако на основе теоремы 3.1 характеристические числа матрицы можно произвольно размещать путем соответствующего выбора матрицы К тогда и только тогда, когда пара является полностью управляемой. Из теоремы 1.41 (разд. 1.8) известно, что пара является полностью управляемой тогда и только тогда, когда пара А, С полностью восстанавливаема. Тем самым доказывается теорема.

Если пара не является полностью восстанавливаемой, то следующая теорема, дуальная теореме 3.2 (разд. 3.2.2), даег условия устойчивости наблюдателя.

Теорема 4.4. Рассмотрим наблюдатель с постоянными параметрами

для системы с постоянными параметрами

В этом случае можно найти такую матрицу К, при которой наблюдатель асимптотически устойчив тогда и только тогда, когда система (4.33) является обнаруживаемой.

Определение обнаруживаемости было дано в разд. 1.7.4. Доказательство этой теоремы следует из ее свойства дуальности теореме 3.2.