6.4.4. УСТАНОВИВШЕЕСЯ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИСКРЕТНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

В настоящем разделе рассматривается случай, когда период управления расширяется от до бесконечности. Следующие результаты по существу идентичны выводам для непрерывного случая.

Теорема 6.29. Рассмотрим задачу построения дискретного детерминированного оптимального регуляторам ее решение, данное в теореме 6.28. Предположим, что ограничены при и предположим, что

где а и — положительные константы.

1) Тогда, если система (6.230)

а) полностью управляемая или

б) экспоненциально устойчивая,

решение разностных уравнений (6.246) и (6.248) с конечным условием при сходится к неотрицательно определенной последовательности матриц которая является решением разностных уравнений (6.246) и (6.248).

2) Далее, если система (6.230) и (6.232) либо:

в) равномерно полностью управляемая и рйвномерно? полностью восстанавливаемая, либо

г) экспоненциально устойчивая,

то решение разностных уравнений (6.246) и (6.248) с конечным условием при сходится к для любого

Устойчивость установившегося закона управления, который соответствует установившемуся решению Р, вытекает из следующего факта.

Теорема 6.30. Рассмотрим задачу построения дискретного детерминированного линейного оптимального регулятора и предположим, что удовлетворяются допущения теоремы 6.29 относительно Тогда, если система (6.230) и (6.232) либо

а) полностью равномерно управляемая и равномерно полностью восстанавливаемая, либо

б) экспоненциально устойчивая, справедливы следующие утверждения.

1) Установившийся оптимальный закон управления

где получается заменой на в (6.246), является экспоненциально устойчивым.

2) Установившийся оптимальный закон управления (6.255) минимизирует выражение

при всех Минимальное значение выражения (6.256), которое достигается при установившемся оптимальном законе управления, равно

Доказательства этих теорем можно провести по плану доказательств Калмана [86] для непрерывных систем. Теоремы, дуальные этим теоремам (применительно к восстанавливаемости), рассматриваются в работе [51]. Для случая постоянных параметров устанавливаются следующие результаты [32, 33].

Теорема 6.31. Рассмотрим задачу построения дискретного линейного оптимального регулятора с постоянными параметрами. Тогда, если система и стабилизируема, и обнаруживаема, справедливо следующее

1) Решение разностных уравнений (6.246) и (6.248) с конечным условием при сходится к постоянному установившемуся решению Р для любого

2) Установившийся оптимальный закон управления имеет постоянные параметры и является асимптотически устойчивым.

3) Установившийся оптимальный закон управления минимизирует (6.256) для всех Максимальное значение этого выражения равно

В заключение получим результат, который полезен при изучении местонахождения полюсов замкнутой системы, соответствующих оптимальномурегулятору с постоянными параметрами в установившемся режиме. Определим величину

где вводятся в теореме 6.28. Найдем разностное уравнение для Из конечного условия (6.249) непосредственно следует, что

Далее, используя (6.248), получаем

Наконец, выразим через Рассмотрим следующую цепочку равенств:

Теперь из (6.246) следует

Подстановка этого выражения в (6.262) дает

Подставляя это выражение для в разностное уравнение состояния, получим следующую двухточечную краевую задачу:

Эти уравнения можно было получить непосредственно, используя аналогично непрерывному случаю вариационный подход к решению задачи построения дискретного регулятора.

Рассмотрим теперь случай установившегося режима и постоянных параметров. Для этого случая определяется соотношением

При условии постоянных параметров разностные уравнения (6.265) принимают вид

Без потери общности примем таким образом, перепишем уравнения (6.267) следующим образом:

Исследуем эти разностные уравнения с помощью z-преобразования. Применяя z-преобразование к обоим уравнениям, получим

где являются -преобразованиями соответственно переменных Решая (6.269) относительно получим

Каждая компонента в этом выражении является рациональной функцией от z с особыми точками при тех где

Пусть обозначают корни этого выражения, левая часть которого является полиномом от z и Если корень, то также является корнем. Нуль никогда не может быть корнем выражения (6.271), и существует самое большее корней — размерность состояния Отсюда следует, что как так и могут быть описаны линейной комбинацией выражений вида для всех значений Члены вида имеют место, если имеет кратность I. Известно, что при соответствующих условиях, указанных в теореме 6.31, установившаяся реакция замкнутого регулятора является асимптотически устойчивой. Это означает, что начальные условия разностных уравнений (6.268) таковы, что в выражении для коэффициенты при членах со степенью где являются нулевыми. Следовательно, является линейной комбинацией степенных членов с теми корнями для которых Это означает, что указанные корни являются характеристическими числами замкнутого регулятора. Поскольку (6.271) имеет меньше чем корней, то может существовать меньше чем корней, по модулю строго меньших чем 1 (в разд. 6.4.7 показано, что это имеет место, только когда матрица А имеет одно или более нулевых характеристических чисел). Это приводит к заключению, что остальные характеристические числа замкнутого регулятора

нулевые, так как в знаменателях выражения в правой части (6. 270) после обращения матрицы появляется

Эти результаты будут использоваться в дальнейшем (разд. 6.4.7) при анализе поведения характеристических чисел замкнутой системы. Подытожим полученные результаты следующим образом.

Теорема 6.32. Рассмотрим задачу построения дискретного детерминированного линейного оптимального регулятора с постоянными параметрами. Предположим, что n-мерная система

является стабилизируемой и обнаруживаемой. Пусть где обозначают те корни уравнения

которые по модулю строго меньше чем 1. Тогда представляют собой характеристических чисел замкнутого оптимального регулятора, работающего в установившемся режиме. Остальные характеристических чисел являются нулевыми.

В работе [172] приводится основанный на таком подходе метод нахождения установившегося решения задача регулирования с помощью диагонализации.

Пример 6.15. Смесительный бак

Рассмотрим задачу регулирования смесительного бака из примера 6.3 (разд. 6.2.3), который описывается разностным уравнением состояния

В качестве управляемых переменных выберем расход и концентрацию на выходе из бака, т.

Используемый критерий имеет вид

Рис. 6.14. Реакции замкнутой системы регулирования смесительного бака (дискретный вариант). Слева — реакции переменных, характеризующих и концентрацию, при начальных условиях справа — реакции переменных, характеризующих объем и концентрацию, при начальных условиях (см. скан)

Весовые матрицы выберем такими же, как и в непрерывном случае (пример 3.9 из разд. 3.4.1):

где — скалярная константа, которую следует определить.

Матрица установившихся коэффициентов обратной связи может быть найдена повторяемом применением выражений (6.246) и (6.248). Прир численные расчеты приводят к следующему результату:

Характеристические числа замкнутой системы равны На рис. 6.14 показана реакция замкнутой системы при начальных условиях Реакция довольно похожа на реакцию системы в соответствующем непрерывном регуляторе (рис. 3.11, разд. 3.4.1).