6.4.6. ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ РЕГУЛЯТОРЫ ДЛЯ СИСТЕМ С НЕНУЛЕВЫМИ ЗАДАННЫМИ ТОЧКАМИ И ПОСТОЯННЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

В данном разделе рассматриваются линейные дискретные регуляторы для систем с ненулевыми заданными точками и постоянными возмущениями. Ограничимся случаем систем с постоянными параметрами и сначала рассмотрим регуляторы для систем с ненулевой задапной точкой. Предположим, что система

должна функционировать относительно заданной точки

где — заданный постоянный вектор. Как и в непрерывном случае (разд. 3.7.1), введем смещенные состояние, входную и управляемую переменные. Тогда установившийся закон управления, который переводит систему из любого начального условия в заданную точку оптимальным образом, в смысле того, что минимизируется критерий

имеет вид

где — соответственно смещенные входная переменная, состояние и управляемая переменная и где — матрица установившихся коэффициентов обратной связи. В терминах переменных исходной системы этот закон управления должен принять вид

где — постоянный вектор. При таком законе управления система описывается уравнениями

где

В случае асимптотически устойчивой замкнутой системы управляемая переменная будет стремиться к постоянному установившемуся значению

где — матричная передаточная функция замкнутой системы:

Выражение (6.302) показывает, что нулевая установившаяся ошибка получается, если выбрано в виде

при условии существования обратной матрицы. Здесь предполагается, что Назовем закон управления

оптимальным законом управления при ненулевой заданной точке.

Видно, что существование этого закона управления определяется существованием матрицы, обратной Совершенно аналогично непрерывному случаю можно показать, что

где — характеристический полином замкнутой системы:

— полином числителя передаточной функции разомкнутой системы, т. е. определяется из выражения

Здесь

есть матричная передаточная функция разомкнутой сйстемы, а

— характеристический полином разомкнутой системы. Из соотношения (6.306) видно, что существует при условии Поскольку описывает частотную характеристику разомкнутой системы, это условие эквивалентно требованию, чтобы матричная частотная характеристика разомкнутой системы имела такой полипом в числителе, который не равен нулю при Подведем итоги следующим образом.

Теорема 6.34. Рассмотрим дискретную линейную систему с постоянными параметрами

где Рассмотрим произвольный асимптотически устойчивый закон управления с постоянной настройкой

Пусть - матричная передаточная функция разомкнутой системы

а — матричная передаточная функция замкнутой системы

Тогда матрица является неособой, а управляемая переменная в установившемся режиме может удерживаться около постоянной заданной точки выбором

в том и только в том случае, если имеет ненулевой полином в числителе, который не имеет нулей при

Заметим, что эта теорема справедлива не только для оптимального закона управления, но и для любого устойчивого закона управления.

Теперь весьма кратко рассмотрим регуляторы систем при постоянных возмущениях. Предположим, что объект описывается разностным уравнением состояния и уравнением выходной переменной вида

где — постоянный вектор. Смещая состояние и входную переменную,

приходим к заключению, что закон управления, который оптимально приводит смещенное состояние к нулю, должен иметь вид

где — соответствующий постоянный вектор. Установившаяся реакция управляемой переменной при указанном законе управления описывается выражением

где Установившаяся реакция может быть сделана нулевой, если выбрать

при условии и неособой матрице Таким образом, оптимальный закон управления, обеспечивающий нулевую установившуюся ошибку, определяется в виде

Условия существования матрицы приводятся в теореме 6.34.

Недостаток закона управления (6.320) заключается в том, что его применение требует измерения постоянного возмущения Эту трудность можно обойти, используя «интегральное состояние» системы (ср. с разд. 3.7.2), определяемое разностным соотношением

при заданном При этом любой асимптотически устойчивый закон управления вида

подавляет влияние постоянных возмущений на управляемую переменную, т. е. принимает в установившемся состоянии нулевое значение независимо от того, каково значение в (6.316). Необходимые и достаточные условия существования такого асимптотически устойчивого закона управления состоят в том, что система (6.316) должна быть стабилизируемой, а [предполагая, что матричная передаточная функция разомкнутой системы не должна иметь нулей в начале координат.

Пример 6.17. Цифровая система управления положением

В примере 6.6 (разд. 6.2.6) показано, что цифровая система

управления положением, рассмотренная в призере 6.2 (разд. (5.2.3), имеет передаточную функцию

Так как полипом в числителе передаточной функции не имеет нуля при может быть построен оптимальный регулятор при непулевой заданной точке. В примере 6.14 (разд. 6.4.3) был получен вектор установившихся коэффициентов обратной связи . Нетрудно убедиться, что соответствующий оптимальный закон управления при ненулевой заданной точке описывается выражением

где — (скалярная) заданная точка. На рис. 6.15 показана реакция, замкнутой системы на ступенчатое изменение заданной точки не только в моменты квантования, но и в промежуточные интервалы; реакция получена при моделировании непрерывной системы. Система обладает хорошей реакцией, не такой быстрой, как апериодическая реакция на рис. 6.12, но зато с меньшими амплитудами входного сигнала.

Рис. 6.15. Реакции цифровой системы управления положением на ступенчатое изменение заданной точки рад.