1.7.2. ВОССТАНАВЛИВАЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
В этом разделе обсуждается задача о восстанавливаемости линейных систем с постоянными параметрами. Основной результат заключается в следующем.
Теорема 1.32. n-мерная линейная система с постоянными параметрами
является полностью восстанавливаемой в том и только том случае, если вектор-строки матрицы восстанавливаемости порождают n-мернде пространство
Это может быть доказано следующим образом. Сначала предположим, что система (1.337) является полностью восстанавливаемой. Тогда из теоремы 1.31 следует, что для всех существует такой момент 
для которого из равенства
получаем 
. Представляя 
в виде ряда Тейлора, находим, что выражение (1.339) эквивалентно равенству
Если матрица восстанавливаемости Q не имеет полного ранга, существует такое ненулевое 
что
Используя теорему Кэли—Гамильтона, нетрудно видеть, что 
для 
. Таким образом, если 
не имеет полного ранга, существует такое ненулевое 
для которого справедливо (1.340). Ясно, что в этом случае из (1.339) не следует 
и система не является полностью восстанавливаемой. Это противоречит нашему допущению, откуда следует, что матрица Q должна иеть полный ранг.
Докажем теперь другое утверждение теоремы 1.32. Допустим, что Q имеет полный ранг. Предположим, что
Многократно дифференцируя 
получаем
или
Поскольку Q имеет полный ранг, из (1.344) следует, что 
. Отсюда на основании теоремы 1.31 имеем, что система является полностью восстанавливаемой. На этом заканчивается доказательство теоремы 1.32.
Поскольку восстанавливаемость системы (1.337) зависит только от матриц А и С, удобно использовать следующую терминологию.
Определение 1.18. Пусть А и С — матрицы размерами 
соответственно. Тогда пара 
называется полностью восстанавливаемой, если система
является полностью восстанавливаемой.
Пример 1.24. Перевернутый маятник
Перевернутый маятник из примера 1.1 (разд. 1.2.3) описывается дифференциальным уравнением состояния
Если в качестве выходной переменной 
принять угол 
, получим
Матрица восстанавливаемости имеет вид
Эта матрица имеет ранг, равный трем; следовательно, система 
не является полностью восстанавливаемой. Это подтверждает вывод примера 1.23. Если добавить в качестве второй компоненты выходной переменной перемещение тележки 
, получим
Это приводит к матрице восстанавливаемости
При данной выходной переменной система является полностью восстанавливаемой, так как матрица Q имеет ранг, равный четырем.
