1.6.5. УПРАВЛЯЕМОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Исследование управляемости на основе теоремы 1.24 для линейных систем с переменными параметрами является невозможным. Для таких систем имеем следующий результат, который не будем доказывать.

Теорема 1.29. Рассмотрим линейную систему с переменными параметрами, дифференциальное уравнение состояния которой имеет, вид

Запишем неотрицательно определенную симметрическую матричную функцию в виде

где — переходная матрица системы. Система является полностью управляемой тогда и только тогда, когда для всех существует такой момент времени что матрица является неособой.

Доказательство этой теоремы читатель может найти в книге Калмана, Фалба и Арбиба [92].

Матрица связана с минимальной «энергией управления», необходимой для перевода системы из одного состояния в другое. «Энергия управления» измеряется в соответствии с выражением

При определенных дополнительных ограничениях, наложенных на матрицу может быть введена более сильная форма управляемости [86].

Определение 1.16. Линейная система с переменными параметрами (1.322) является равномерно полностью управляемой,

если существуют положительные константы такие, что

где — матрица (1.323), — переходная матрица системы.

Равномерная управляемость предполагает не только то, что система может быть переведена из любого состояния в любое другое состояние, но также и то, энергия управления, связанная с этим переходом, и время перехода практически не зависят от начального момента. В связи с этим замечанием не является неожиданным следующий результат.

Теорема 1.30.. Линейная система с постоянными параметрами

является равномерно полностью управляемой тогда и только тогда, когда она полностью управляема.