3.7.2. ПОСТОЯННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ

В этом разделе рассмотрим метод компенсации влияния постоянных возмущений в системах регулирования с постоянными параметрами. Как было показано в гл. 2, в системах регулирования и слежения, где требуется высокая точность, важно полностью исключить постоянные возмущения. Этого можно добиться, используя свойства интеграла. Введем интегрирование в управление с обратной связью путем первоначального расширения обычной задачи регулирования, а затем рассмотрим влияние постоянных возмущений в соответствующей модифицированной схеме замкнутой системы управления.

Рассмотрим систему с постоянными параметрами, описываемую дифференциальным уравнением состояния

при заданном и управляемой переменной

Добавим к параметрам системы «интегральное состояние» [131, 140, 161], определяемое соотношением

при заданном Тогда можно рассмотреть задачу минимизации критерия вида

где — соответствующим образом выбранные весовые матрицы. Первый подынтегральный член сводит управляемую переменную к нулю, тогда как второй член минимизирует величину интеграла, т. е. общая площадь под кривой реакции управляемой переменной стремится к нулю. Третий член, как обычно, используется для ограничения амплитуды входного воздействия.

Предположим, что путем минимизации выражения (3.448) или с помощью другого метода определен закон управления с постоянными параметрами

который стабилизирует расширенную систему, описываемую уравнениями (3.445) — (3.447). Отложим в данное время рассмотрение вопроса о том, при каких условиях существует такой асимптотически устойчивый закон управления. Предположим, что в системе присутствует постоянное возмущение. Тогда дифференциальное уравнение состояния (3.445) необходимо заменить на уравнение

где — постоянный вектор. Так как присутствие постоянного возмущения не влияет на асимптотическую устойчивость системы, то

или из (3.447)

Это означает, что система управления с асимптотически устойчивым законом управления (3.449) обладает таким свойством, что влияние постоянных возмущений на управляемую переменную в

Рис. 3.17. Схема системы интегрального управления с обратной связью.

конце концов исчезает. Так как это достигается за счет введения интеграла состояния такая схема системы управления имеет форму интегрального управления. На рис. 3.17 представлена схема интегрального управления.

Рассмотрим процесс подавления постоянного возмущения. Целью интегрирования по многим переменным (3.447) является формирование постоянной составляющей во входном воздействии, которая компенсирует влияние постоянного возмущения на управляемую переменную. Рассмотрим реакцию системы (3.450) на входное воздействие

Подстановка этого выражения в дифференциальное уравнение состояния (3.450) дает

Предполагается, то в равновесных условиях имеется постоянная составляющая состояния которая должна удовлетворять соотношению

где

Решение для дает

при условии, что матрица А несингулярная. Соответствующая равновесная величина управляемой переменной определяется выражением

Если теперь рассмотреть вопрос о том, существует ли величина которая обеспечивает равенство то, очевидно, получим такие же условия, как и в разд. 3.7.1, соответствующие следующим трем случаям.

а) Размерность z больше, чем и. В этом случае уравнению

соответствует число уравнений, которое больше числа переменных. Это означает, что решение для общего случая не существует. Число степеней свободы слишком мало, и установившуюся ошибку по z нельзя исключить.

б) Размерность z равна размерности и. В этом случае решение существует тогда и только тогда, когда матрица

несингулярна, где

есть передаточная матрица замкнутей системы. Как следует из теоремы 3.10, матрица является несингулярной тогда и только тогда, когда передаточная матрица разомкнутой системы не имеет нулей в начале координат.

в) Размерность z меньше размерности и. В этом случае имеется слишком много степеней свободы, и размерность z можно увеличить путем добавления компонент в управляемую переменную.

На основе этих соображений ограничимся случаем Проведенный анализ показывает, что необходимое условие для успешной работы рассматриваемой схемы интегрального управления состоит в том, что передаточная матрица разомкнутой системы не должна иметь нулей в начале координат. Действительно, путем некоторого развития результатов работы [144], включающих каноническое представление системы (3.445) в форме управляемости, можно показать, что необходимые и достаточные условия для существования асимптотически устойчивого закона управления в форме (3.449) состоят в том, что:

1) система (3.445) должна быть стабилизируема и

2) передаточная матрица разомкнутой системы не должна иметь нулей в начале координат.

В работах [45, 144] Показано, что. необходимые и достаточные условия для произвольного размещения полюсов замкнутой системы состоят в том, что система (3.445) должна быть полностью управляемой, а передаточная матрица разомкнутой системы не должна иметь нулей в начале координат. В работе [45] последнее условие сформулировано в альтернативной форме.

В литературе можно найти различные подходы к определению

схем интегрального управления (см., например, работы [1, гл. 10; 81]).

Пример 3.17. Управление положением с использованием интеграла Рассмотрим систему управления положением из предыдущих примеров и предположим, что на вход системы поступает постоянное возмущение в форме постоянного момента валу двигателя. Преобразуем Дифференциальное уравнение состояния (3.59) к форме

где — момент инерции всех вращающихся частей. Как и раньше, управляемая переменная определяется выражением

Дополним систему скалярной интегральной переменной состояния определяемой в виде

Из примера 3.15 известно, что передаточная функция разомкнутой системы не имеет нулей в начале координат. Кроме того, система является полностью управляемой, так что не следует ожидать трудностей в определении системы интегрального управления. Рассмотрим критерий оптимальности

Как и в предыдущем примере, выберем?

Анализ рис. 3.9 показывает, что при отсутствии интегрального управления достигает установившийся величины около 0,01 рад•с при заданных начальйых условиях.

Выбирая

можно существенно влиять на схему управления.

Численное решение соответствующей задачи регулирования при численных значениях примера 3.4 (разд. 3.3.1) и позволяет определить установившийся закон управления

Рис. 3.18. Реакция системы интегрального управления положением на постоянный момент на валу двигателя.

Соответствующие характеристические числа замкнутой системы равны При сравнении с чисто пропорциональной схемой из примера 3.8 (разд. 3.4.1) отметим, что пропорциональная часть обратной связи, которую представляет изменяется незначительно [ср. с (3.169)], а соответствующие полюса замкнутой системы, равные в примере 3.8, перемещаются также незначительно. - На рис. 3.18 показана реакция интегральной системы управления при нулевых начальных условиях на постоянный момент на валу двигателя, равный Максимальное отклонение углового перемещения, вызванного постоянным моментом, составляет рад.