5.3. Оптимальные линейные регуляторы при неполных измерениях, содержащих шум

5.3.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЕ

В этом разделе рассматривается задача оптимального линейного регулирования, когда наблюдения системы являются неполными и неточными, т. е. когда измерить полный вектор состояния нельзя, а доступные измерения содержат шум. Кроме того, предполагается, что на систему действуют случайно изменяющиеся возмущения. Точная постановка этой задачи следующая.

Определение 5.1. Рассмотрим систему

где — стохастический вектор со средним значением и матрицей

дисперсий Наблюдаемая переменная описывается выражением

Совместный случайный процесс является белым шумом с интенсивностью

Управляемую переменную можно представить в виде

Тогда задача стохастического линейного оптимального регулирования с обратной связью по выходной переменной является задачей нахождения такого функционала

при котором критерий

достигает минимума. Здесь — симметрические весовые матрицы, такие, что

Решение этой задачи, как и ожидалось, является комбинацией решений задачи стохастического оптимального регулирования из гл. 3 (теорема 3.9, разд. 3.6.3) и задачи оптимального восстановления из гл. 4. Этот результат известен как принцип разделения и устанавливается в следующей теореме.

Теорема 5.3. Оптимальное линейное решение задачи стохастического линейного оптимального регулирования с обратной связью по выходной переменной является точно таким же, как и решение соответствующей задачи стохастического оптимального регулирования с обратной связью по состоянию (теорема 3.9, разд. 3.6.3 за тем исключением, что в законе управления состояния заменяется на линейную оценку по минимуму среднего значения квадрата ошибки, т. е. входная переменная выбирается в виде

где — матрица коэффициентов усиления, определяемая выражением (3.344), — выходная переменная оптимального

наблюдателя, построенного в разд. 4.3.2 — 4.3.4, для несингулярного некоррелированного, несингулярного коррелированного и сингулярного случаев соответственно.

Доказательство этой теоремы в общих чертах для несингулярного случая с некоррелированными шумами дано в разд. 5.3.3. Отметим, что решение, как указывалось, является наилучшйм линейным решением. Можно доказать [60, 102, 103, 186, 188], что если процессы являются гауссовскими шумами и начальное состояние является гауссовским процессом, то оптимальное линейное решение является оптимальным решением (без ограничений).

Ограничиваясь случаем, когда задача оценки является несингулярной, а шум, возбуждающий состояние, и шум наблюдений не коррелированы, запишем более подробно решение задачи стохастического линейного регулирования с обратной связью по выходной переменной. Для входной переменной имеем

где

Здесь — решение уравнения Риккати

Оценка получается как решение уравнения

где

Матрица дисперсий является решением уравнения Риккати

На рис. 5.6 Приведена блок-схема этой стохастической оптимальной системы управления с обратной связью по выходной переменной.

(кликните для просмотра скана)