6.5.4. ОПТИМАЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ НАБЛЮДАТЕЛИ

В данном разделе исследуются линейные дискретные наблюдатели, которые являются оптимальными в определенном смысле; при этом предполагается, что на рассматриваемую систему действуют возмущения, а наблюдения искажаются шумом наблюдений. Затем находятся такие наблюдатели, которые оптимально восстанавливают состояние в смысле минимума среднего значения квадрата ошибки восстановления. Сформулируем задачу следующим образом.

Определение 6.19. Рассмотрим систему

Здесь представляет собой последовательность некоррелированных векторных стохастических величин с нулевыми средними и матрицами дисперсий

Даже, пусть — векторная стохастическая величина, некоррелированная с при этом

Рассмотрим наблюдатель

для этой системы. Тогда задача нахождения последовательности матриц и начального условия минимизирующих

где — положительно определенная симметрическая

весовая матрица, называется задачей построения дискретного оптимального наблюдателя. Если то задача построения оптимального наблюдателя называется неособой (невырожденной)

Чтобы решить задачу построения дискретного оптимального наблюдателя, сначала найдем разностное уравнение, которому удовлетворяет ошибка восстановления Вычитание из разностного уравнения состояния системы (6.419) уравнения наблюдателя (6.422) приводит к уравнению

Обозначим теперь через матрицу дисперсий процесса , а через — среднее значение процесса Тогда напишем

так что

Первый член этого выражения, очевидно, минимизируется при Это можно получить, положив что в свою очередь получается, если выбрать

Второй член в выражении (6.425) можно минимизировать независимо от первого члена. На основании теоремы 6.22 (разд. 6.2.12) из (6.424) следует, что Q удовлетворяет рекуррентному соотношению

при

Многократное применение этого рекуррентного соотношения позволяет выразить в виде функции . Рассмотрим теперь задачу минимизации выражения относительно Это эквивалентно минимизации , т. е. нахождению такой последовательности матриц которая для соответствующего значения выражения

обеспечивает Теперь (6.428) представляет как функцию где является функцией Ясно, что для данного является монотонной функцией от т. е. если то где получается из с помощью (6.428). Следовательно, можно минимизировать, сначала минимизируя относительно затем подставляя минимальное значение выражения в (6.428) и, наконец, минимизируя относительно

Предположим, что минимальное значение выражения найдено. Заменяя на в (6.428) и выполняя преобразования, получаем

где для краткости опущены аргументы в правой части равенства и где предполагается, что матрица

является неособой. Такое допущение всегда справедливо в неособой задаче построения наблюдателя, где Рассматривая (6.430), замечаем, что минимизируется относительно если выбрать в качестве где

Соответствующее значение определяется в виде

при

Соотношения (6.432) и (6.433) вместе с начальным условием (6.434) дают возможность вычислить последовательность матриц коэффициентов рекуррентно, начиная с

Сформулируем следующий вывод.

Теорема 6.42. Матрицы оптимальных коэффициентов при неособой задаче построения оптимального наблюдателя могут быть получены из рекуррентных соотношений

для которых при начальном условии

В качестве начального условия для наблюдателя может быть выбрано

Матрица является матрицей дисперсий ошибки восстановления Для оптимального наблюдателя среднее значение квадрата ошибки восстановления определяется выражением

Особые задачи оптимального наблюдения могут быть исследованы методом, более или менее аналогичным методу в непрерывном случае 122, 168]. Задачи дискретного наблюдения, где шум, возбуждающий состояние, и шум наблюдений являются окрашенными шумами, а не процесрами типа белого шума [79], могут быть сведены к особым или неособым задачам построения дискретных наблюдателей.

Отметим в заключение, что в литературе постановка задачи построения дискретного линейного оптимального наблюдателя отличается от рассмотренной здесь, так как в ней допускается, что а не является последним наблюдением, доступным для восстановления . В задаче 6.8.6 показывается, как решение этого альтернативного варианта задачи может быть получено из данного варианта.

В настоящем разделе рассматривались оптимальные наблюдатели. Как и в непрерывном случае, можно доказать (см., например, [125]), что оптимальный наблюдатель в действительности является линейным оценивателем с минимальным средним значением квадрата ошибки процесса по данным т.е. невозможно найти какой-либо другой линейный оператор, который по этим данным давал бы оценку с меньшим средним значением квадрата ошибки восстановления. Более того, если начальное состояние является гауссовским, а последовательности типа белого шума являются совместно гауссовскими, то оптимальный наблюдатель является оценивателем

с минимальным средним значением квадрата ошибки процесса по данным невозможно найти какой-либо другой оцениватель, использующий эти данные, с меньшим средним значением квадрата ошибки восстановления (см., папример, [79]).

Пример 6.23. Смесительный бак при наличии возмущений

В примере 6.10 (разд. 6.2.12) был рассмотрен дискретный вариант смесительного бака. Объект описывается разностным уравнением состояния

где последовательность некоррелированных стохастических величин с нулевым средним и матрицей дисперсий (6.169). Компонентами состояния являютея приращение объема жидкости в баке, приращение концентрации в баке и приращения концентрации двух поступающих потоков. Допустим, что в каждый момент времени можно наблюдать приращение объема и приращение концентрации в баке. Оба вида наблюдений искажаются некоррелированными шумами наблюдений с нулевыми средними и стандартными отклонениями соответственно Кроме того, предположим, что цедый период дискретности используется для обработки данных, так что уравнение наблюдений принимает вид

где имеет матрицу дисперсий

Процессы являются некоррелированными. В примере 6.10 было найдено, что установившаяся матрица дисперсий имеет вид

Рис. 6.21. Поведение среднеквадратических ошибок восстановления в системе регулирования смесительного бака при наличии возмущений.

Используя эту матрицу дисперсий в качестве начальной матрицы дисперсий можно решить рекуррентные соотношения (6.435). На рис. 6.21 показано изменение среднеквадратических ошибок восстановления последних трех компонент состояния, полученных из анализа изменения Среднеквадратическая ошибка восстановления первой компоненты состояния — объема — конечно, остается нулевой все время, поскольку объем не подвергается флуктуациям, и, таким образом, его значение точно известно во все моменты времени.

Из графиков видно, что концентрации потоков не могут быть восстановлены очень точно, потому что среднеквадратические ошибки восстановления стремятся к установившимся значениям, которые едва ли меньше среднеквадратических значений флуктуаций концентраций самих потоков. Среднеквадратическое значение ошибки восстановления концентрации в баке стремится к установившемуся значению около Причиной, по которой эта ошибка больше среднеквадратического значения

ошибки наблюдений заключается в наличии запаздывания при обработке данных — наблюдатель должен предсказывать концентрацию на целый период дискретности вперед.