4.3.6. МЕТОД ОБНОВЛЕНИЯ

Рассмотрим оптимальную задачу наблюдения в соответствии с определением 4.3 и ее решение, полученное в разд. 4.3.2 — 4.3.4. Здесь мы исследуем интересное свойство процесса

где — оптимальное восстановление состояния в момент t на основе данных, поступивших к моменту Фактически можно доказать, что процесс (4.208) является белым шумом с интенсивностью точно равной интенсивности шума наблюдений Этот процесс называется процессом обновления [85], а указанный термин можно проследить вплоть до работ Винера. Можно считать, что величина несет новую информацию, содержащуюся в так как является вынуждающей переменной, которая совместно с моделью системы образует

оптимальный наблюдатель. Концепция обновления оказывается полезной при анализе теоремы разделения в линейной теории оптимального стохастического управления (гл. 5). Кроме того, эта концепция также применяется в других задачах восстановления состояния, не рассматриваемых в данной книге, в частности в так называемой, задаче оптимального сглаживания [85].

Ограничимся рассмотрением случая, когда шум возбуждающий состояние, и шум наблюдений являются некоррелированными и имеют интенсивности соответственно, где Чтобы доказать, что является белым шумом с интенсивностью вычислим ковариационную матрицу для ее интеграла и покажем, что эта матрица идентична матрице ковариаций интеграла белого шума с интенсивностью

Обозначим через интеграл разности с условием, что

Кроме того, разность

будем считать ошибкой восстановления. Возвращаясь вновь к разд. 4.3.2, получим из уравнений (4.209) и (4.82) следующее дифференциальное уравнение состояния для

где — коэффициент усиления оптимального наблюдателя. Используя теорему 1.52 (разд. 1.11.2), получим следующее матричное дифференциальное уравнение для матрицы дисперсий

с начальным условием

где — матрица дисперсий Разобьем матрицу следующим образом:

Теперь можно переписать матричное дифференциальное уравнение (4.212) в форме

Из уравнения (4.217) можно видеть, что, как и следовало ожидать, где — матрица дисперсий ошибки восстановления. Из выражения (4.105) следует, что в уравнении (4.216) имеем

Таким образом, уравнение (4.216) упрощается:

Это уравнение имеет решение

Тогда уравнение (4.215) также упрощается

так что

Обращаясь снова к теореме 1.52, можно записать ковариационную матрицу для следующим образом:

где — переходная матрица системы

Легко найти, то переходная матрица определяется выражением

где — переходная матрица системы

Ковариационная матрица процесса является (-блоком матрицы которая, как можцо установить, определяется выражением

Это выражение является ковариационной матрицей процесса с некоррелированными приращениями (см. пример 1.29, разд. 1.10.1). Так как процесс является производной процесса то он представляет собой белый с интенсивностью (см. пример .1.33, разд. 1.11.1).

Подытожим полученные результаты в следующем виде.

Теорема 4.7. Рассмотрим решение несингулярной задачи оптимального наблюдения с некоррелированными шумом, возбуждающим состояние, и шумом наблюдений, заданным так же, как в теореме 4.5. Тогда процесс обновления

есть белый шум с интенсивностью

Можно доказать, что эта теорема также справедлива для сингулярной задачи оптимального наблюдения с коррелированными шумом, возбуждающим состояние, и шумом наблюдений.