3.6. Задачи стохастического линейного оптимального регулирования и слежения

3.6.1. ЗАДАЧИ РЕГУЛИРОВАНИЯ ПРИ ВОЗМУЩЕНИЯХ — СТОХАСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ РЕГУЛИРОВАНИЯ

В предыдущих разделах была рассмотрена детерминированная задача линейного оптимального регулирования. Решение этой задачи позволяет точно рассчитать переходные процессы в том случае, когда линейная система имеет возмущенное начальное состояние и необходимо вернуть систему в нулевое состояние с максимальной быстротой при ограничении на амплитуду входного воздействия. Существуют практические задачи, которые могут быть сформулированы в такой постановке, однако большинство составляют задачи, в которых возмущения действуют на систему

непрерывно и стремятся вывести систему из нулевого состояния. В таких случаях задача состоит в разработке структуры обратной связи, с помощью которой с максимальным быстродействием снижаются начальные отклонения, а также, насколько это возможно, компенсируется воздействие возмущений в установившемся состоянии. Решение этой задачи позволит синтезировать регуляторы, которые были необходимы в гл. 2.

Введем на некоторое время предположение, что полное состояние системы можно точно наблюдать в любой момент времени. Влияние возмущений можно учесть путем соответствующего расширения вектора состояния системы. Рассмотрим систему, описываемую уравнениями

где — входная переменная, — управляемая переменная, — возмущения, действующие на систему. Представим математически возмущения в виде стохастических процессов, которые будем моделировать как выход линейной системы, возмущаемой, белым шумом. Тогда предположим, что определяется выражением

Здесь — решение уравнения

где — белый шум. Кроме того, предположим, что — стохастические переменные.

Объединим описание системы и возмущений, вводя расширенный вектор состояния , который, как можно увидеть из (3.305) — (3.307), удовлетворяет уравнению

При расширенном описании системы управляемая переменная определяется выражением

Отметим, что уравнение (3.308) описывает систему, которая не является полностью управляемой по и.

Обратимся вновь к критерию оптимизации. В детерминированной задаче регулирования рассматривался интегральный

квадратический критерий

Для заданного воздействия и заданной реализации возмущений этот критерий является мерой отклонений от нуля. Однако априорно этот критерий нельзя оценить из-за стохастической природы возмущений. Поэтому проводится осреднение по всем возможным реализациям и рассматривается критерий

Используя расширенный вектор состояния этот критерий можно представить в виде

где

Очевидно, что задача минимизации критерия (3.312) для системы (3.308) является лишь частным случаем общей задачи минимизации

для системы

где — белый шум, — стохастическая переменная. Назовем эту задачу задачей построения стохастического линейного оптимального регулятора.

Определение 3.4. Рассмотрим систему, описываемую дифференциальным уравнением состояния

с начальным состоянием

и управляемой переменной

В уравнении — белый шум с интенсивностью Начальное состояние является стохастической величиной, не зависящей от белого шума с

Рассмотрим критерий

где — положительно определенные симметрические матрицы для — неотрицательно определенная симметрическая матрица. Тогда задача определения для любого момента такого входного воздействия в виде функций всей прошлой информации, при котором критерий достигает минимума, называется задачей построения стохастического линейного оптимального регулятора. Если в такой постановке задачи все матрицы являются постоянными, то эту задачу назовем задачей построения стохастического линейного оптимального регулятора с постоянной настройкой.

Решение этой задачи рассматривается в разд. 3.6.3.

Пример 3.11. Смесительный бак

В примере 1.37 (разд. 1.11.4) была расширена модель смесительного бака, в которой учтены возмущения в форме флуктуаций концентрации потоков. Расширенная модель системы описывается уравнением

где — белый шум с интенсивностью

Здесь компонентами вектора состояния являются соответственно приращение объема жидкости, изменение концентрации смеси в баке, концентрации потока и концентрации потока Рассмотрим сначала в качестве компонент управляемой переменной приращение выходного потока и выходной концентрации. Тогда получим

Задача синтеза стохастического оптимального регулятора заключается в определении такой входной переменной при которой критерий вида

достигает минимума. Весовые матрицы выбираются точно так же, как и в примере 3.9 (разд. 3.4.1), а матрица выбирается нулевой.