1.4. Устойчивость

1.4.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

В настоящем разделе рассматривается поведение дифференциальных систем на длительном интервале времени. Пусть нелинейное дифференциальное уравнение состояния имеет вид

Важно установить, обладают ли решения дифференциального уравнения состояния свойством неограниченно возрастать при Для упрощения вопроса предположим, что имеем дело с автономной системой, т. е. в системе отсутствует входной сигнал и или, что эквивалентно, входной сигнал является фиксированной

величиной. Таким образом, перейдем к системе

Так же как в разд. 1.2.2 при выполнении линеаризации, введем понятие номинального решения которое удовлетворяет дифференциальному уравнению состояния:

Особый интерес представляет случай, когда является постоянным вектором в этом случае говорят, что характеризует состояние равновесия системы.

Исследуем вопросы устойчивости решений дифференциальных уравнений состояний. Сначала дадим следующее определение (в связи со всей последовательностью приводимых ниже определений см. также [24, 89, 190]).

Определение 1.1. Рассмотрим дифференциальное уравнение состояния

с номинальным решением Номинальное решение этого уравнения является устойчивым в смысле Ляпунова, если для любого и для любого существует (зависящее от , возможно, от такое, что удовлетворяется неравенство для всех

Здесь обозначает норму вектора х, которой может быть эвклидова норма

где — компоненты х.

Можно использовать также и другие нормы.

Устойчивость в смысле Ляпунова гарантирует, что состояние не отклоняется слишком далеко от номинального решения при начальном состоянии, достаточно близком к номинрльному решению. Устойчивость в смысле Ляпунова является довольно слабой формой устойчивости. Поэтому расширим понятие устойчивости.

Определение 1.2. Номинальное решение дифференциального уравнения состояния

является асимптотически устойчивым, если

а) оно устойчиво в смысле Ляпунова;

б) для всех существует такое (возможно, зависящее от ), что в случае имеем

Таким образом, асимптотическая устойчивость в дополнение к устойчивости в смысле Ляпунова приводит к тому, что решение всегда приближается к номинальному решению при начальном отклонении, удовлетворяющем неравенству

Асимптотическая устойчивость не всегда дает информацию при больших начальных отклонениях от номинального решения. Следующее определение соответствует случаю произвольных начальных отклонений.

Определение 1.3. Номинальное решение дифференциального уравнения состояния

является асимптотически устойчивым целом (большом), если

а) оно устойчиво в смысле Ляпунова;

б) для любого и любого

при

К решению, асимптотически устойчивому в целом, в итоге приближаются все другие решения.

Пока что обсуждалась только устойчивость решений. Для нелинейных систем это необходимо вследствие сложности явлений, характерной для этих систем. В случае линейных систем, однако, ситуация проще, и целесообразнее говорить об устойчивости систем, а не об устойчивости решений. Поясним это утверждение. Положим, что — любое номинальное решение линейного дифференциального уравнения

— любое другое решение уравнения (1.127). Поскольку и являются решениями дифференциального уравнения 1.127), также является решением, т. е.

Очевидно, что для анализа устойчивости номинального решения можно исследовать устойчивость тривиального решения, т. е. решения . Если нулевое решение устойчиво в любом смысле (по Ляпунову, асимптотически или асимптотически в делом), любое другое решение будет также устойчивым в том же смысле. Поэтому введем следующую терминологию.

Определение 1.4. Линейная дифференциальная система

устойчива в определенном смысле (по Ляпунову, асимптотически или асимптотически в целом), если тривиальное решение устойчиво в этом смысле.

В дополнение к тому, что все номинальные решения линейной дифференциальной системы обнаруживают одинаковые свойства устойчивости, для линейных систем пет необходимости делать различие между асимптотической устойчивостью и асимптотической устойчивостью в целом, что утверждается в следующей теореме.

Теорема 1.12. Линейная дифференциальная система

асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда она асимптотически устойчива в целом.

Эта теорема следует из того, что для линейных систем решения могут быть продолжены без изменения их поведения.

Завершим этот раздел введением другой формы устойчивости, которую определим только для линейных систем [24].

Определение 1.5. Линейная дифференциальная система с переменными параметрами

является экспоненциально устойчивой, если существуют положительные константы такие, что

для каждого начального состояния

Экспоненциально устойчивая система обладает тем свойствам, что текущее состояние экспоненциально сходится к нулевому состоянию независимо от начального состояния.

Поясним понятия, введенные в этом разделе, несколькими примерами.

Пример 1.6. Перевернутый маятник

Положение равновесия перевернутого маятника из примера 1.1 (разд. 1.2.3), очевидно, не является устойчивым в любом смысле.

Пример 1.7. Обычный маятник

"Рассмотрим маятник, описанный в примере 1.1 (разд. 1.2.3). Положим Из физических соображений ясно, что решение (соответствующее обычному подвешенному маятнику) является устойчивым в смысле Ляпунова; выбором достаточно малых начальных отклонений и скоростей можно добиться, чтобы движения системы оставались произвольно малыми. Система, однако, не является асимптотически устойчивой, так как не предполагается наличие трения в маятнике; однажды возникая, движение маятника не прекращается. Более того, если придать тележке начальное перемещение; она не вернется в нулевое положение без помощи внешней силы.

Пример 1.8. Смесительный бак

Рассмотрим смесительный бак из примера 1.2 (разд. 1.2.3). При линеаризованная система описывается уравнением

которое имеет решения

Очевидно, всегда приближаются к нулевому значению при возрастании так как . В результате линеаризованная система асимптотически устойчива. Более того, поскольку сходимость к положению равновесия является экспоненциальной, система экспоненциально устойчива.

Из разд. 1.4.4 видно, что если линеаризованная система асимптотически устойчива, то положение равновесия, относительно которого была произведена линеаризация, является асимптотически устойчивым, но не обязательно асимптотически устойчивым в целом.

Из физических соображений, однако, следует ожидать, что в данном случае система является асимптотически устойчивой в целом.