3.11. Задачи

3.11.1. СТАБИЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЕМ

Рассмотрите систему управления положением из примера 3.4 (разд. 3.3.1). Определите множество всех линейных законов управления, которые стабилизируют систему управления положением.

3.11.2. УПРАВЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЕМ ДВИГАТЕЛЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА БЕЗ ТРЕНИЯ

Задачу регулирования из примера 3.4 (разд. 3.3.1) можно упростить, если нренебречь трением в двигателе. Тогда дифференциальное уравнение состояния принимает вид

где . Примите в качестве управляемой переменной

и рассмотрите критерий

а) Определите установившееся решение Р уравнения Риккати.

б) Определите установившийся закон управления.

в) Вычислите полюса замкнутой системы; изобразите годограф полюсов замкнутой системы при изменении

г) Используйте численные значения и определите путем вычисления или моделирования реакцию замкнутой системы на начальное условие

3.11.3. РЕГУЛИРОВАНИЕ АМПЛИДИНА

Рассмотрите амплидин из задачи 1.12.2.

а) Предположите, что выходное напряжение должно поддерживаться постоянным и равным величине Обозначьте номинальную величину входного напряжения через и представьте систему при помощи смещенной переменной состояния с пулем в качестве номинальной величины.

б) Примите в качестве управляемой переменной

и рассмотрите критерий

где

Найдите установившееся решение задачи регулирования для следующих численных значений:

в) Вычислите полюса замкнутой системы.

г) Найдите путем вычислений или моделирования реакцию замкнутой системы на начальные условия

3.11.4. СТОХАСТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЕМ

Рассмотрите систему управления положением из примера 3.4 разд. 3.3.1), предполагая, что в дополпение к входному воздействию на систему действует случайным образом изменяющийся момент. Тогда дифференциальное уравнение состояния (3.59) можно представить следующим образом:

Здесь отражает влияние возмущающего момента. Представьте в виде экспоненциально коррелированного шума

где — белый шум с интенсивностью

а) Рассморите управляемую переменную

и критерий

Найдите установившееся решение соответствующей задачи регулирования.

б) Используйте численные значения

Вычислите установившиеся среднеквадратические значения управляемой переменной и входного воздействия для

3.11.5. СИСТЕМА ОТСЛЕЖИВАНИЯ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ

Рассмотрите задачу отслеживания угловой скорости из примеров 3,12 (разд. 3.6.2) и 3.14 (разд. 3.6.3). В примере 3.14 было установлено, что величина которая была выбрана равной 1000, может быть существенно улучшена.

а) Изменяя выберите такую величину которая бы соответствовала установившейся среднеквадратической величине входного напряжения

б) Вычислите соответствующую установившуюся среднеквадратическую ошибку слежения.

в) Вычислите соответствующую частоту срыва для замкнутой системы и сравните ее с частотой срыва для эталонной переменной.

3.11.6. РЕГУЛЯТОР ДЛЯ АМПЛИДИНА ПРИ НЕНУЛЕВОЙ ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ

Рассмотрите задачу 3.11.3, в которой синтезирован регулятор для амплидина.

а) Используя результаты этой задачи, определите регулятор при ненулевой заданной точке.

б) Промоделируйте или вычислите реакцию регулятора на ступенчатое изменение выходного напряжения в 10 В.

3.11.7. РАЗВИТИЕ ЗАДАЧИ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Рассмотрите линейную систему с переменными параметрами

и обобщенным квадратическим критерием

где — матрицы соответствующей размерности, удовлетворяющие условиям при

а) Покажите, что задачу минимизации критерия (3.630) для системы (3.629) можно сформулировать как минимизацию критерия

для системы

где

б) Покажите, что критерий (3.630) минимизируется для системы (3.629) в предположений

где

с решением матричного уравнения Риккати

в) Пусть является решением матричного дифференциального уравнения для произвольного

Покажите, что путем выбора равного минимизируется в том смысле, что где — решение (3.636).

Замечание: доказательство п. (в) следует из Можно также доказать путем преобразования уравнения (3.637) и использования леммы 3.1 (разд. 3.3.3), что (3.634) является наилучтим линейным законом управления. -

3.11.8. РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ РИККАТИ [2, 134, 141]

Рассмотрите алгебраическое уравнение Риккати

Пусть матрица

всегда может быть представлена в виде

где — жорданова каноническая форма матрицы Столбцы матрицы всегда можно представить так, чтобы можно было разбить на блоки;

Здесь — блоки размерности Матрица разбивается соответственно:

а) Рассмотрите равенство

и покажите, анализируя броки 12 и 22 этого равенства, что если блок является несингулярным, то — решение алгебраического уравнения Риккати. Заметим, что, меняя порядок характеристических чисел в таким способом можно получить много решений.

б) Покажите, что характеристические числа матрицы точно равны характеристическим числам и что (обобщенные) собственные векторы этой матрицы являются столбцами

Указание: оцените блок 12 тождества (3.643).

3.11.9. УСТАНОВИВШЕЕСЯ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ МЕТОДОМ ДИАГОНАЛИЗАЦИИ

Рассмотрите матрицу размера определяемую выражением (3.247), и предположите, что эту матрицу нельзя диагонализировать. Тогда можно представить в виде

где — жорданова каноническая форма а матрица образована собственными векторами и обобщенными собственными векторами Всегда можно так представить столбцы что

можно разбить следующим образом:

где диагональными элементами матрицы размера являются такие характеристические числа матрицы которые имеют положительные вещественные части, а половина их имеет нулевые вещественные части. Разбиение матриц и соответственно дает

Предположите, что пара является стабилизируемой, а — обнаруживаемой. Следуя положениям разд. 3.4.4 покажите, что для данного случая справедливы следующие выводы.

а) Установившееся решение Р уравнения Риккати

удовлетворяет уравнению

б) Матрица является несингулярной и

в) Оптимальное поведение состояния в установившемся режиме описывается выражением

Здесь матрица не имеет характеристических чисел с нулевыми вещественными частями, а полюса замкнутой системы состоят из тех характеристических значений которые имеют отрицательные вещественные части.

Указание: покажите, что

где точная форма неважна.

3.11.10. СООТНОШЕНИЕ БАССА ДЛЯ Р [12]

Рассмотрите алгебраическое уравнение Риккати

и предположите, что удовлетворяются условия, при которых оно имеет единственное неотрицательно определенное симметрическое решение. Пусть матрица определяется выражением

Из теоремы 3.8 (разд. 3.4.4) следует, что не имеет характеристических чисел с нулевыми вещественными частями. Факторизуйте характеристический полином следующим образом:

так, чтобы корни имели строго отрицательные вещественные части. Покажите, что Р удовлетворяет соотношению

Указание. запишите где в обозначениях разд. 3.4.4.

3.11.11. ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ? РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ [171]

Используя обозначения разд. 3.4.4, покажите, что решение уравнения Риккати с постоянными параметрами

можно представить в форме

где

с

Покажите, используя задачу 3.12, что можно записать через в виде

3.11.12. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ W и V

Рассматривается матрица определяемая в разд. 3.4.4.

а) Покажите, что если где — -мерные векторы, является правым собственным вектором матрицы соответствующим характеристическому числу X, т. е. то является левым собственным вектором соответствующим характеристическому числу , т. е.

б) Предположите для простоты, что все характеристические числа матрицы различны, и пусть заданы соответствующие собственные векторы Определите масштаб для так, что если собственный вектор соответствует характеристическому числу X и соответствует , то

Покажите, что если является матрицей, которая имеет столбцы и разделяется на блоки

то

Указание: учтите, что левый и правый собственные векторы ортогональны.

3.11.13. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ РЕГУЛИРОВАНИЯ В ЧАСТОТНОЙ ОБЛАСТИ

Для систем с одним входом и постоянными параметрами в канонической форме фазовой переменной задачу регулирования удобно решать в частотной области. Пусть система

задана в канонической форме фазовой переменной. Рассмотрим задачу минимизации

где

а) Покажите, что характеристический полином замкнутой системы можно найти путем факторизации полинома

где передаточная функция разомкнутого контура.

б) Для заданного характеристического полинома замкнутой системы покажите, каким образом можно найти соответствующий закон управления

Указание: сравните с данными разд. 3.2.

3.11.14. МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО УДАЛЕННЫХ ПОЛЮСОВ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрите задачу минимизации

где для системы

а) Покажите, что при некоторые из полюсов замкнутой системы уходят в бесконечность, тогда как остальные полюса остаются конечными. Покажите, что те полюса, которые остаются конечными, приближаются к нулям в левой полуплоскости определителя

б) Докажите, что по крайней мере k полюсов замкнутой системы уходят в бесконечность, где k — размерность входной переменной.

Указание: положите чтобы определить максимальное число нулей (3.6.72). Сравните с доказательством теоремы 1.19 (разд. 1.5.3).

в) Докажите, что при полюса замкнутой системы достигают чисел которые равны характеристическим числам матрицы А, зеркально отраженным в левую часть комплексной плоскости.

3.11.15. ОЦЕНКА РАДИУСА УДАЛЕННЫХ ПОЛЮСОВ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ ИЗ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ (ДИАГРАММЫ БОДЕ) [107, 157]

Рассмотрите задачу минимизации

для системы с одним входом и одним выходом

Предположите, что имеется диаграмма Боде для частотной характеристики замкнутого контура Покажите, что при малых значениях радиус удаленных полюсов оптимальной замкнутой системы в установившемся состоянии оценить как частоту для которой