5.4. Линейные оптимальные следящие системы с неполными и неточными измерениями

В разд. 3.6.2 были рассмотрены задачи слежения как специальные случаи стохастических задач регулирования с обратной связью по состоянию. В связи с этим были определены законы управления, для которых требуется, чтобы было известно состояние объекта и состояние эталонной переменной. В этом разделе рассматривается аналогичная задача, в которой, однако, полагается, что можно измерить только некоторые линейные комбинации компонент состояния, которые к тому же засорены аддитивным шумом. Кроме того, полагается, что можно измерить только саму эталонную переменную, также возмущаемую белым шумом.

Таким образом, принимается следующая модель для эталонной переменной

где

В этой выражении — белый шум с интенсивностью Кроме того, полагается, что наблюдается переменная

Здесь — белый шум с интенсивностью соуправляемая система описывается дифференциальным уравнением состояния

где — белый шум с интенсивностью Система имеет управляемую переменную

и наблюдаемую переменную

Здесь — белый шум с интенсивностью Предполагается, что

Чтобы получить задачу оптимизации, рассмотрим критерий

Здесь Первый член подынтегральной функции оказывает воздействие на управляемую переменную позволяя отслеживать эталонную переменную тогда как второй член ограничивает амплитуды входной переменной.

Теперь сформулируем задачу стохастического оптимального слежения при неполных и неточных наблюдениях в следующем виде.

Определение 5.2. Рассмотрим систему

где — стохастическая переменная со средним значением и матрицей дисперсий — белый шум с интенсивностью Управляемой переменной является

а наблюдаемая переменная определяется выражением

где — белый шум с интенсивностью где Рассмотрим также эталонную переменную

где

Здесь — стохастическая переменная со средним значением и матрицей дисперсий — белый шум с интенсивностью Наблюдаемая переменная для процесса описывается выражением

где белый шум с интенсивностью Тогда задача оптимального линеипого слежения при неполных и неточных наблюдениях является задачей выбора входной переменной для системы (5.122) в функции таким образом, чтобы критерий

достигал минимума, где при

Чтобы решить задачу, объединим эталонную модель и объект

в расширенную систему. Используя компоненты расширенного состояния напишем

Наблюдаемой переменной в расширенной системе является

Напишем в качестве критерия

где

Задача слежения теперь представлена в форме стандартной стохастической задачи регулирования и может быть решена путем использования теоремы 5.3. Из этого следует, что можно написать

Если принять, что все белые шумы и начальные величины, связанные с объектом и эталонным процессом, некоррелированы, то можно построить два отдельных наблюдателя: один — для состояния объекта, а другой — для состояния эталонного процесса. Кроме того, из разд. 3.6.3 известно, что вследствие специальной структуры задачи слежения можно написать

где разделение согласуется с другими разделениями, а матрица коэффициентов усиления обратной связи не зависит от свойств эталонного процесса.

На рис. 5.7 представлена блок-схема оптимальной следящей системы в предположении, что можно использовать два отдельных наблюдателя. Видно, что контур обратной связи совершенно не зависит от свойств эталонной переменной.

Завершим этот раздел анализом передаточной матрицы системы С постоянными параметрами в установившемся состоянии. Простой способ определения этой матрицы состоит в следующем.

Положим и допустим, что в системе отсуствуют

Рис. 5.7. Структура оптимальной следящей системы.

шумы. В этом случае при . Тогда можно полностью не учитывать наблюдатель объекта при вычислении матрицы и заменить на . В результате получим следующие соотношения:

Из этого непосредственно следует

где — преобразования Лапласа для и где

В общем случае не равно единичной матрице, поэтому ступенчатые изменения эталонной переменной вызывают установившуюся ошибку. Причина этого состоит в том, что рассматриваемая система управления не рассчитана на ступенчатые изменения эталонной переменной. Если требуется, чтобы система управления имела нулевую ошибку в установившемся состоянии при постоянной эталонной переменной, то необходимо использовать метод, предлагаемый в следующем разделе. В заключение отметим, что в передаточной матрице имеются только полюса регулятора и наблюдателя, а полюса наблюдателя объекта исчезают.

Пример 5.4. Система управления положением

Вернемся теперь к рассмотренной выше системе управления положением. Рассмотрим задачу построения такой системы управления, в которой угловое положение отслеживает эталонную переменную. Для моделей системы управления, возмущений и шума наблюдений используем уравнения и численные данные из примера 5.3 (разд. 5.3.2). Представим эталонную переменную в виде экспоненциально коррелированного шума

с

Здесь — скалярный белый шум с постоянной интенсивностью Предполагается, что эталонная переменная наблюдается с аддитивным белым шумом, так что измеряется

где шум имеет постоянную интенсивность и не коррелирован с шумом Легко определить установившийся оптимальный наблюдатель для эталонного процесса; он описывается уравнением

где

Критерий оптимальности выражается в виде

Результирующий установившийся, закон управления описывается выражением

Матрицы были вычислены в примере 3.8 (разд. 3.4.1) и были получены следующие результаты:

Используя результаты разд. 3.6. 3, можно найти

Поскольку теперь имеется наблюдатель эталонной переменной и известны коэффициенты усиления регулятора, можно использовать выражение (5.137) для вычисления передаточной матрицы замкнутой системы слежения. Получим

Отметим, что частота срыва системы, по крайней мере, не меньше частоты срыва замкнутого объекта и частоты срыва наблюдателя эталонной переменной. Частота срыва замкнутого объекта равна где а частота срыва наблюдателя эталонной переменной равна

Какая частота срыва из указанных двух является меньшей, зависит от отношения сигнал — шум для эталонной переменной и величины которая в свою очередь определяется допустимыми амплитудами входной переменной объекта. Рассмотрим сначала влияние Если эталонная переменная измеряется точно (т. е. мала), то частота срыва наблюдателя эталонной переменной высока и частота срыва замкнутой системы является определяющей. С другой стороны, если эталонная переменная измеряется неточно, то наблюдатель эталонной переменной ограничивает полосу пропускания всей системы.

Рассмотрим теперь влияние весового коэффициента Видно, что если мал, т. е. допустимы большие амплитуды входной переменной, то частота срыва замкнутой системы высока и наблюдатель эталонной переменной определяет частоту срыва. И наоборот, если коэффициент велик, то частота срыва ограничивается замкнутым объектом управления.

Примем следующие численные значения для эталонного процесса:

Тогда частота срыва эталонной неременной равна а среднеквадратическая величина эталонной неременной составляет 1 рад. Кроме того, примем, что шум измерений эталонной переменной является экспоненциально коррелированным шумом со среднеквадратическим значением 0,181 рад и постоянной времени 0,025 с. Это делает частоту срыва шума измерений эталонной переменной равной Так как эта частота весьма высока в сравнении с аппроксимируем шум измерений белым шумом с плотностью

Найдем величину частоты срыва наблюдателя эталонной переменной при численных значениях (5.149) и (5.150):

Так как частота срыва наблюдаемой эталонной переменной меньше частоты срыва шума измерений эталонной переменной (равной можно сделать вывод, что обоснованно аппроксимировать шум измерений белым шумом.

Наконец, необходимо определить наиболее подходящую величину весового коэффициента . С этой целью оценим закон управления для различных величин и вычислим соответствующие среднеквадратические величины ошибок слежения и входного напряжения. Исключая возмущающий момент и шум измерений в системе запишем уравнения системы в виде

Объединяя их, получим дифференциальное уравнение расширенного состояния

Из этого уравнения можно определить установившуюся матрицу дисперсии расширенного состояния и затем вычислить среднеквадратическую ошибку слежения и среднеквадратическую величину входного напряжения. Конечно, можно также использовать метод, рассмотренный в разд. 5.3.2. В табл. 5.1 приведены результаты для последовательно уменьшающихся значений Заметим, что влияние шума возбуждающего эталонную переменную, и шума измерений эталонной переменной задано вместе и по отдельности.

Таблица 5.1. Влияние весового коэффициента на характеристики системы управления положением (см. скан)

Если максимально допустимое входное напряжение составляет , то весовой коэффициент конечно, нельзя выбирать меньше 0,00001; для этой величины среднеквадратическое значение входного напряжения составляет почти 50 В. Соответствующая среднеквадратическая величина ошибки слежения равна рад, что все же является весьма большой величиной в сравнении со среднеквадратической величиной эталонной переменной (~1 рад). Если эта среднеквадратическая величина слишком велика, то требования к ширине полосы пропускания эталонной переменной

необходимо снизить. Необходимо, однако, отметить, что полученные среднеквадратические значения ошибки слежения и входной переменной, возможно, больше фактических значений, поскольку моделирование стохастических процессов экспоненциально коррелированных шумом обычно приводит к функциям спектральной плотности, которые уменьшаются гораздо медленнее с увеличением частоты, чем фактические функции плотности.

При из выражения (5.152) можно вычислить передаточную матрицу при нулевой частоте . Это означает, что в предполагаемой системе управления установившаяся ошибка весьма велика при постоянной эталонной переменной. Это происходит, во-первых, из-за того, что экспоненциально коррелированный шум имеет относительно большую мощность на высоких частотах, и, во-вторых, потому, что член, который взвешивает входную переменную в критерии оптимальности, стремится ограничить входную переменную небольшой величиной за счет точности слежения. В следующем разделе рассмотрим, каким образом можно построить системы слежения с нулевой установившейся ошибкой.

Среднеквадратические значения, приведенные в табл. 5.1, не включают влияние возмущений в системе и ошибок наблюдений. Результаты, полученные в примере 5.3, свидетельствуют о том, что это влияние незначительно в сравнении с влиянием эталонной переменной.