3.2.2. УСЛОВИЯ РАЗМЕЩЕНИЯ ПОЛЮСОВ И СТАБИЛИЗАЦИЯ

В данном разделе будет точно установлено: 1) при каких условиях полюса замкнутой системы с постоянными параметрами могут быть произвольно размещены в некоторой области на комплексной плоскости с помощью линейной обратной связи и 2) при каких условиях систему можно стабилизировать. Сначала получим следующий результат.

Теорема 3.1. Рассмотрим линейную систему с постоянными параметрами

и законом управления с постоянной настройкой

Для такой системы характеристические числа замкнутой системы, т. е. характеристические числа матрицы могут быть произвольно размещены на комплексной плоскости (с тем ограничением, что комплексные характеристические числа образуют комплексно сопряженные пары) путем соответствующего выбора матрицы тогда и только тогда, когда система (3.19) является полностью управляемой.

Полное доказательство этой теоремы дано в работах [37, 45, 72, 183]. В работе [180] рассмотрен нестационарный случай. Ограничимся доказательством для систем со скалярной входной переменной.

Предположим, что система, описываемая дифференциальным уравнением состояния

(кликните для просмотра скана)

где скалярная входная переменная, является полностью управляемой. Из разд. 1.9 известно, что существует преобразование состояния — неособая матрица преобразования), которое преобразует систему (3.19) в каноническую форму фазовой переменной

Здесь числа — коэффициенты характеристического полинома системы (3.21), т. е.

Запишем (3.22) более компактно:

Рассмотрим теперь линейный закон управления

где — вектор-строка,

Замкнутая система с этим законом управления описывается дифференциальным уравнением состояния

Легко показать, что матрица определяется выражением

Из этого выражения следует, что характеристический полином матрицы имеет коэффициенты Так как являются произвольно выбранными вещественными числами, коэффициенты характеристического полинома замкнутого контура могут быть заданы в виде любых желаемых чисел. Это означает, что полюса замкнутого контура можно произвольно размещать на комплексной плоскости (при условии, что комплексные полюса образуют комплексно сопряженные пары).

Так как закон управления с обратной связью выбран в виде зависимости от преобразованных переменных состояния, его можно представить непосредственно через исходные пёременные состояния в следующем виде:

Тем самым доказывается, что если система (3.19) полностью управляема, то характеристические числа замкнутого контура можно выбирать произвольно. Обратное доказательство следует из последней части доказательства теоремы 3.2. Доказательство для систем с многомерной входной переменной более сложно, поэтому опустим его. Как видно из примера 3.2, в этом случае обычно имеется много решений для матрицы коэффициентов усиления обратной связи при заданных характеристических числах замкнутого контура.

На основе теоремы 3.1 всегда можно полностью стабилизировать управляемую систему с помощью обратной связи или повысить ее устойчивость, размещая полюса замкнутой системы в левой половине комплексной плоскости. Эта теорема, однако, не дает указаний, каким образом следует распределять полюса замкнутой системы в левой половине комплексной плоскости. Кроме того, имеется неопределенность в случае системы многомерной входной переменной, когда одна и та же схема распределения полюсов замкнутой системы может быть реализована с помощью различных законов управления. Эта неопределенность устраняется методами линейной оптимальной теории регулирования, которые обсуждаются ниже в гл. 3.

Из теоремы 3.1 следует, что всегда можно стабилизировать полностью управляемую линейную систему. Предположим, однако, что имеем случай системы с постоянными параметрами, которая не является полностью управляемой. Из рассмотрения понятия стабилизируемости в разд. 1.6.4 можно установить, что стабилизируемость, как следует из названия, точно характеризует условия, которые позволяют стабилизировать неполностью управляемую систему с постоянными параметрами при помощи линейного закона управления с постоянной настройкой [183].

Теорема 3.2. Рассмотрим линейную систему с постоянными параметрами

и законом управления с постоянной настройкой

Докажем, что можно найти такую постоянную матрицу при которой замкнутая система будет асимптотически устойчивой тогда и только тогда, когда система (3.29) стабилизируема.

Доказательство этой теоремы очень простое. Из теоремы 1.26 (разд. 1.6.3) известно, что система может быть представлена в канонической форме управляемости

где пара — полностью управляемая. Рассмотрим линейный закон управления

Для замкнутой системы получим

В этом выражении характеристические числа сложной матрицы являются характеристическими числами матриц Тогда, если система (3.29) стабилизируема, то матрица асимптотически устойчива, и так как пара полностью управляема, то всегда можно найти такую матрицу что матрица будет устойчивой. Тем самым доказывается, что если система (3.29) стабилизируема, то всегда можно найти закон управления с обратной связью, который стабилизирует систему. И наоборот, если можно найти закон управления с обратной связью, который стабилизирует систему, то матрица должна быть асимптотически устойчивой, так как система стабилизируема. Это доказывает другое положение теоремы.

Из доказательства рассмотренной теоремы следует, что если система стабилизируема, но не полностью управляема, то только некоторые из полюсов замкнутой системы могут быть размещены произвольно, так как закон управления не изменяет характеристических чисел матрицы Тем самым доказывается еще одно положение теоремы 3.1.