6.3. Анализ линейных дискретный систем управления

6.3.1. ВВЕДЕНИЕ

Ниже дается краткий обзор методов анализа линейных дискретных систем управления. В отношении рассматриваемых тем данный раздел аналогичен гл. 2.

6.3.2. ДИСКРЕТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

В настоящем разделе кратко описываются задачи дискретного управления, вводятся уравнения, которые будут использованы для писания объекта и регулятора определяются среднее значение квадрата ошибки слежения и среднее значение квадрата входной переменной и устанавливается основной принцип проектирований. Сначала введем пойятие объекта, который является управляемой

системой и представляется в виде линейной дискретной системы, описываемой уравнениями

Здесь — состояние объекта, — начальное состояние, и — входная переменная, у — наблюдаемая переменная, управляемая переменная. Далее, представляет собой возмущающую переменную, — шум наблюдений. Наконец, введем эталонную переменную Заметим, что в противоположность непрерывному случаю здесь допускается наличие прямой связи от входа объекта к наблюдаемой и управляемой переменным. Причина этого заключается в том, что в дискретных системах, полученных посредством дискретизации непрерывных систем, при несовпадении моментов квантования выходных переменных и моментов изменения входной переменной легко возникают прямые связи (разд. 6.2.3). Как и в непрерывном случае, рассмотрим раздельно задачу слежения, где управляемая переменная должна следовать за изменяющейся эталонной переменной и задачу регулирования, где эталонная переменная является постоянной или медленно меняющейся.

Аналогично непрерывному случаю рассмотрим замкнутые и разомкнутые регуляторы. Замкнутый регулятор общего вида представляется линейной дискретной системой, описываемой разностным уравнением состояния и уранением выходной переменной

Заметим, что, согласно этим уравнениям, регулятор может одновременно обрабатывать входные данные а также формировать входную переменную объекта. Если имеют место ощутимые запаздывания в процессах, как, например, в случае цифрового управления при использовании высоких скоростей повторения, будем считать, что эти запаздывания учитываются при составлении уравнений объекта (разд. 6.2.3).

Уравнения разомкнутого регулятора общего вида следуют из уравнений (6.172), если положить К у и II равными нулю.

Следуя теории непрерывных систем, будем оценивать качество системы управления, разомкнутой или замкнутой, на основании среднего значения квадрата ошибки слежения и среднего значения

квадрата входной переменной. Среднее значение квадрата ошибки слежения определяется в виде

где

а — неотрицательно определенная симметрическая весовая матрица. Подобным же образом, среднее значение квадрата входной переменной определяется как

где — другая неотрицательно определенная весовая матрица. Основной принцип при проектировании системы управления заключается в минимизации среднего значения квадрата ошибки 1; слежения и в то же самое время в поддержании среднего значения квадрата входной переменной не выше приемлемой величины. Как и в непрерывном случае, определяющее значение имеет следующий принцип проектирования.

Принцип проектирования 6.1. Система управления должна быть асимптотически устойчивой.

Дискретные системы управления, так же как и непрерывные, характеризуются тем, что неустойчивый объект может быть стабилизирован с помощью замкнутого управления и не может быть стабилизирован при разомкнутом управлении.

Пример 6.11. Цифровая система управления положением с пропорциональной обратной связью

В качестве примера рассмотрим цифровую систему управления положением из примера 6.2 (разд. 6.2.3). Эта система описывается разностным уравнением состояния

Здесь первой компонентой вектора является угловое положение, а второй компонентой — угловая скорость. Далее, обозначает входное напряжение. Предположим, что эта система управляет положением посредством использования пропорциональной обратной связи, как показано на рис. 6.7. Здесь управляемая переменная является положением, а входное напряжение определяется соотношением

В этом выражении — эталонная переменная, а — коэффициент

Рис. 6.7. Цифровая система управления положением с пропорциональной обратной связью.

Рис. 6.8. Корневые годографы цифровой системы управления положением. X полюса разомкнутой системы; О нуль разомкнутой системы.

усиления. Положим, что нет запаздывания в процессах, так что моменты дискретизации выходной переменной совпадают с моментами, в которые происходит обновление управления. Таким образом, имеем

В примере 6.6 (разд. 6.2.6) было найдено, что разомкнутая z-передаточная функция объекта определяется выражением

Используя это, нетрудно установить, что характеристический полином замкнутой системы имеет вид

На рис. 6.8 показаны годографы корней замкнутой системы. Видно, что при изменении X от 100 до 150 В/рад полюса замкнутой системы выходят за пределы единичного круга, поэтому замкнутая система становится неустойчивой. Кроме того, следует ожидать, что в области устойчивости при увеличении X система становится все более колебательной, как полюса замкнутой системы все ближе приближаются к единичной окружности. Чтобы избежать резонансных эффектов и в то же время максимизировать X, необходимо выбрать значение в пределах от 10 до 50 В/рад.