6.4.3. ЗАДАЧА ПОСТРОЕНИЯ ЛИНЕЙНОГО ДИСКРЕТНОГО ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА

Аналогично задаче в непрерывном случае определим задачу дискретного регулирования следующим образом.

Определение 6.16. Рассмотрим дискретную линейную систему

где

с управляемой переменной

Рассмотрим также критерий

Задача определения входной переменной при называется задачей построения дискретного детермигьированного линейного оптимального регулятора. Если все матрицы в постановке задачи постоянные, то имеет место задача построения дискретного линейного оптимального регулятора с постоянными параметрами. Отметим, что два члена в критерии (6.233), следующие после знака суммирования, имеют разные индексы. Это объясняется следующим образом. Начальное значение управляемой переменной всецело зависит от начального состояния и не может быть изменено. Поэтому нет смысла вводить в критерий член с Аналогичным образом конечное значение входной переменной воздействует на поведение системы только после конечного момента времени поэтому член, включающий также может быть исключен. Расширенный критерий, содержащий перекрестные члены, приведен в задаче 6.8.1. Отметим также, что управляемая переменная не содержит прямой связи в постановке задачи (определение 6.16), хотя, как было показано в разд. 6.2.3, такая прямая связь непосредственно возникает при дискретизации непрерывной системы. Пренебрежение прямой связью можно объяснить тем, что при выборе управляемой переменной обычно существует некоторая свобода, и поэтому допустимо моменты изменения управляемой переменной выбирать совпадающими с моментами дискретизации. В этом случае в управляемую переменную не входит, прямая связь (разд. 6.2.3). Однако задачи построения регуляторов в случае наличия прямой связи в управляемой переменной легко преобразуются к постановке задачи 6.8.1.

Подход, применяемый при определении оптимального закона управления, отличается от непрерывного случая, где использовалось

элементарное вариационное исчисление; здесь будем использовать динамическое программирование [14, 93]. Определим скалярную функцию следующим образом:

при

Видно, что представляет собой минимальное значение критерия, вычисленное за период если в момент система находится в состоянии Найдем рекуррентное уравнение для этой функции. Рассмотрим момент времени Тогда, если значение входной переменной является произвольным, выбраны как оптимальные значения по отношению к состоянию системы в момент можно записать значение критерия за период следующим образом:

Очевидно, что для определения оптимального значения входной переменной в момент необходимо выбрать так, чтобы минимизировалось выражение

Минимальное значение (6.236) должно, конечно, быть минимальным значением критерия, вычисленного за периоды управления Следовательно, имеем равенство

Используя (6.230) и (6.232), преобразуем это выражение к виду

где

Это выражение является разностным уравнением относительно функции , решение йоторого позволяет найти , так как определяется, из (6.234). Попытаемся найти решение в виде

где последовательность матриц, которую надо определить. Из (6.234) непосредственно следует

Подставляя (6.240) в (6.238) и проводя минимизацию, находим, что оптимальная входная переменная определяется в виде

где матрица коэффициентов определяется из соотношения

Обратная матрица в этом выражении всегда существует, поскольку и добавляется неотрицательно определенная матрица. Подстановка (6.242) в (6.238) вместе с (6.243) приводит к следующему разностному уравнению относительно :

Нетрудно установить, что правая сторона является симметрической матрицей.

Сформулируем эти результаты следующим образом.

Теорема 6.28. Рассмотрим задачу построения дискретного детерминированного линейного оптимального регулятора. Оптимальная входная переменная определяется соотношением

где

Здесь обратная матрица всегда существует, кроме того,

Последовательность матриц удовлетворяет матричному разностному уравнению

при конечном условии

Значение критерия (6.233), получаемое при этом законе управления, определяется выражением

Заметим, что разностное уравнение (6.248) удобно решать в обратном порядке, при этом сначала в соответствии с (6.246) на вычисляется , а затем из согласно (6.248), находится При использовании ЦВМ это не вызывает трудностей. Уравнение (6.248) эквивалентно уравнению Риккати в непрерывном случае.

Нетрудно показать, что при условиях, указанных в определении 6.16, решение задачи построения дискретного детерминированного линейного оптимального регулятора, данное в теореме 6.28, всегда существует и является единственным.

Пример 6.14. Цифровая система управления положением

Рассмотрим цифровую систему управления положением из примера 6.2 (разд. 6.2.3). В качестве управляемой переменной примем положение, т. е. пусть

Выберем критерий

и произведем его минимизацию.

Таблица 6.1. Поведение вектора, коэффициентов обратной связи в цифровой системе управлении положением (см. скан)

Данные табл. 6.1 характеризуют поведение вектора коэффициентов при Видно, что с увеличением приближается к установившемуся значению

Реакция соответствующей замкнутой системы при начальном состоянии показана на рис. 6.13.

Рис. 6.13. Реакция оптимальной цифровой системы управления положением при начальном состоянии . (см. скан)