2.8. Влияние шума наблюдений в скалярном случае

В любой замкнутой системе в некоторой степени ощущается влияние шума наблюдений. В настоящем разделе анализируется составляющая от шума наблюдений в среднем значении квадрата ошибки слежения и среднем значении квадрата входной переменной. В данном разделе принимаются следующие допущения.

1. Шум наблюдений является стохастическим процессом, некоррелированным с эталонной переменной и приложенным к объекту возмущением

Таким образом, приращения среднего значения квадрата ошибки слежения и среднего значения квадрата входной переменной, обусловленные, шумом наблюдений, могут быть вычислены, если положить равными нулю.

2. Управляемая переменная является также наблюдаемой переменной, т. е. так что

а в случае постоянных параметров

3. Система управления является асимптотически устойчивой и имеет постоянные параметры.

4. Входная и управляемая переменные и, следовательно, эталонная переменная являются скалярными, а весовые матрицы равны 1.

Здесь также анализ может быть распространен на случай многомерных систем, однако это почти не дает дополнйтельной информации.

Рис. 2.27. Блок-схема матричной передаточной функции замкнутой системы управления при наличии шума наблюдений.

5. Шум наблюдений является стационарным в широком смысле стохастическим процессом с нулевым средним и функцией спектральной плотности

На рис. 2.27 показана блок-схема системы, которая получается после принятия указанных допущений. В терминах преобразований Лапласа имеем

так что

Следовательно, прирост установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения, обусловленный шумом наблюдений, может быть записан в виде

В связи с этим может быть сформулирован следующий принцип проектирования.

Принцип проектирования 2.7. Чтобы уменьшить прирост установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения, обусловленный шумом наблюдений в асимптотически устойчивой линейной системе управления. с постоянными параметрами, со скалярной управляемой переменной, которая является также наблюдаемой переменной, систему следует спроектировать так, чтобы значение

было малым в полосе частот шума наблюдений.

Очевидно, что этот принцип противоречит принципу 2.5, поскольку увеличение коэффициента усиления цепи как этого требует принцип 2.5, приводит к значению (2.164), близкому к 1, что означает появление в ошибке слежения неподавленного шума наблюдений. Это происходит в результате того, что в случае большого коэффициента усиления цепи вместо переменной за эталонной переменной следит сумма переменных

Очевидно, что передаточная функция от шума наблюдений входной переменной объекта имеет вид

откуда следует, что прирост установившегося среднего значения квадрата входной переменной, обусловленный шумом наблюдений, равен

Это приводит к следующему правилу проектирования: чтобы прирост установившегося среднего значения квадрата входной переменной, обусловленный шумом наблюдений, был малым, выражение

должно принимать малые значения в полосе частот шума наблюдений. Ясно, что это правило также противоречит принципу 2.5.

Пример 2.11. Система управления положением с единственной обратной связью по положению

Рассмотрим снова систему управления положением из примера 2.4 (разд. 2.3) с предложенными иремя различными схемами управления (варианты примерах 2.7 (разд. 2.5.) и 2.9 (разд. 2.6) был проанализирован вариант I и выбрано В/рад как наилучшее значение этого коэффициента. В примере 2.7 было найдено, что вариант II обеспечивает лучшие показатели качества благодаря добавочной обратной связи по угловой скорости. Теперь, однако, предположим, что по некоторой причине (финансовой или технической) тахогенератор не может быть установлен. Тогда мы обращаемся к варианту III, в котором предпринимается попытка приблизиться к варианту II, используя приближенное дифференцирующее звено с постоянной времени . Если шум наблюдений отсутствует, можно выбрать и вариант III будет сведен к варианту II. Предположим, однако, что имеется шум наблюдений и он может быть представлен как экспоненциально коррелированный шум с постоянной времени

и среднеквадратическим значением

Наличие шума наблюдений вынуждает выбрать Чтобы определить приемлемое значение предположим сначала,

Рис. 2.28. Влияние величины на частотную характеристику системы управления положением (вариант III).

что оказывается достаточно малым, и поэтому коэффициенты и X могут быть выбраны в соответствии с вариантом II. Тогда легко установить, насколько большим может быть выбрапо Та, обеспечивающее достаточное подавление шума наблюдений без ухудшения качества варианта II.

Нетрудно найти, что передаточная функция системы управления варианта III имеет вид

Чтобы определить приемлемо малое значение поступим следующим образом. Замкнутая система варианта II причисленных значениях параметров X и полученных в примере 2.7, имеет собственную частоту близкую к значению а параметр демпфирования составляет Теперь, чтобы не замедлять движение системы, постоянная времени устройства дифференцирования должна быть выбрана малой по отношению к обратной величине собственной чтоты, т. е. малой по сравнению с 0,05 с. На рис. 2.28 представлены графики частотной характеристики, соответствующие выражению (2.170), для различных значений Видно, что при с частотная характеристика почти не изменяется от приближенной операции дифференцирования, а при наблюдается значительное отличие.

Рассмотрим влияние шума наблюдений. Моделируя обычным образом из матрицы дисперсий расширенного состояния

можно вычислить добавочные части установившихся средних значений квадратов ошибки слежения и входной переменной. Численные результаты графически изображены на рис. 2.29. Эти графики показывают, что для малых Та установившееся среднее значение квадрата входной переменной в значительной степени увеличивается.

Рис. 2.29. Графики функций от равных квадратным корням из составляющих в установившихся средних значениях квадратов ошибки слежения и входного напряжения, обусловленных шумом наблюдений (вариант III системы управления положением).

Приемлемое значение , видимо, находится около 0,01 с. Для этого значения величина квадратного корня из прироста установившегося среднего значения квадрата входной переменной составляет только величина квадратного корня из прироста установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения 0,0008 рад является очень малой и частотная характеристика меняется незначительно.