2.9. Влияние неопределенности параметров объекта в скалярном случае

Довольно часто при проектировании системы управления возникает ситуация, в которой разработчику точно не известны параметры объекта. На практике может также оказаться, что непрерывное изменение параметров объекта и соответствующая настройка регулятора представляются весьма трудоемкими.

Замкнутые регуляторы, как будет показано, могут быть спроектированы так, что, несмотря на существенное различие между действительными параметрами объекта и номинальными значениями

{т. е. значениями параметров, принятыми при проектировании регулятора), качество системы ухудшается весьма незначительно. Далее исследуется прирост установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения, обусловленной отклонениями параметров.

В данном разделе приняты следующие допущения.

1. Система управления является асимптотически устойчивой и имеет постоянные параметры.

2. Управляемая переменная является также наблюдаемой переменной, т.е. поэтому

3. Входная и управляемая переменные, а следовательно, и эталонная переменная являются скалярными, а весовые матрицы равны 1.

Обобщение на многомерный случай возможно, однако это практически не дает дополнительной информации.

4. Исследуется влияние изменений параметров только на качество слежения; характеристики подавления возмущений и шумов не рассматриваются.

5. Эталонная переменная имеет как постоянную часть которая является стохастическим вектором с моментом второго порядка так и переменную часть, которая является стационарным в широком смысле стохастическим векторным процессом с нулевым средним и спектральной плотностью

Обозначим через номинальную передаточную функцию объекта, а через действительную передаточную функцию. Аналогично обозначим через — передаточную функцию системы управления с номинальной передаточной функцией объекта, а через передаточную функцию с действительной передаточной функцией объекта. Предположим, что. передаточная функция в цепи обратной связи и передаточная функция в цепи эталонной переменной (см. блок-схему рис. 2.14, разд. 2.5.1) точно известны и не подвергаются изменению.

Используя (2.63), получим выражения для номинальной передаточной функции

и действительной передаточной функции

Для действительной системы управления установившееся среднее значение квадрата ошибки слежения равно

Найдем оценку прироста установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения, обусловленного изменением передаточной функции. Примем обозначение

Подставляя в (2.173), получим

Теперь предположим, что номинальная система управления спроектирована хорошо, так что частотная характеристика очень близка к 1 в полосе застот эталонной переменной. В данном случае можно пренебречь первыми четырьмя членами выражения (2.175), поэтому приближенно имеем

Эта аппроксимация предполагает, что

для всех в полосе частот эталонной переменной.

Далее выразим с помощью где

В результате получим

где

есть функция чувствительности действительной системы управления, а

— передаточная функция номинальной системы от эталонной переменной до входной переменной и. Теперь, используя аппроксимацию

где

есть функция чувствительности номинальной системы управления (которая известна), запишем выражение для установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения

Сформулируем следующий принцип проектирования.

Принцип проектирования 2.8. Рассмотрим асимптотически устойчивую линейную замкнутую систему управления с постоянными параметрами и скалярной управляемой переменной, которая является также наблюдаемой переменной. Тогда для уменьшения установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения, обусловленной вариацией в передаточной функции объекта необходимо, чтобы функция чувствительности системы управления была малой в полосе частот характеристики Если особую важность имеют постоянные ошибки, значение должно быть сделано малым (предпочтительно нулевым) при значении отличном от нуля.

Этот принцип надо понимать следующим образом. Обычно передаточная функция объекта определяется из условия компромисса между средним значением квадрата ошибки слежения и средним значением квадрата входной переменной. Если выбрана то передаточная функция от эталонной переменной до входной переменной объекта является фиксированной. Заданные могут быть реализованы различными путями, например желаемую функцию можно получить, если сначала выбрать передаточную функцию в цепи обратной связи, а затем подстроить передаточную функцию в цепи эталонной

переменной. Принцип проектирования 2.8 устанавливает, что эта реализация должна быть выбрана так, чтобы функция

принимала малые значения в полосе частот функции Последняя функция известна, если имеются некоторые сведения о была найдена. Заметим, что для подавления влияния возмущений в системе управления малые значения функции чувствительности также являются необходимыми, что было установлено в разд. 2.7. Как было отмечено в разд. 2.7, функция может быть приведена к нулю путем интегрирующего действия регулятора (задача 2.12.3).

Завершим данный раздел интерпретацией функции Из (2.171) и (2.179) следует

Таким образом, функция связывает относительное изменение передаточнрй функции объекта с получающимся вследствие этого относительным изменением передаточной функции системы управления Если амплитуда изменений передаточной функции объекта невелика, то можно считать

Эта интерпретация функции является классической и принадлежит Боде (см., например, [74]); называется функцией чувствительности замкнутой системы, поскольку она дает информацию о чувствительности передаточной функции системы управления к изменениям передаточной функции объекта.

Пример 2.12. Влияние изменения параметров системы управления положением

Проанализируем чувствительность к изменениям параметров в варианте I системы управления положением (пример 2.4, разд. 2.3). Функция чувствительности для этой системы определяется выражением

Графики функции для различных значений коэффициента были приведены на рис. 2.26. Очевидно, что при В/рад (самое благоприятное значение коэффициента) подавление влияния изменений параметров обеспечивается при значениях до Для большей конкретности предположим, что изменения параметров вызываются изменениями момента инерции Поскольку параметры объекта а и х определяются выражениями (пример 2.4)

нетрудно найти, что при малых изменениях параметра можно написать

где

есть передаточная функция объекта. Отметим следующее.

1. При нулевой частоте независимо от значения имеем

Поскольку следовательно, Это означает, что независимо от инерционной нагрузки реакция системы на изменение заданной точки всегда является правильной.

2. Из выражения (2.189) видно, что функция со влияния изменения момента инерции на передаточную функцию объекта возрастает до частоты срыва рад/с и остается далее постоянной.

Рис. 2.30. Влияние изменений параметров на реакции системы управления положением (вариант I) при ступенчатом изменении эталонной переменной на 0,1 рад. 1 — номинальная инерционная нагрузка; 2 — инерционная нагрузка, равная 1,3 номинальной; 3 — инерционная нагрузка, равная 0,7 поминальной.

Из поведения функции чувствительности следует, что при низких частотах (до влияние изменения момента инерции на передаточную функцию системы невелико, причем с уменьшением частоты это влияние ослабляется.

Чтобы иллюстрировать чувствительность системы управления, на рис. 2.30 показаны реакции замкнутой системы на ступенчатое изменение эталонной переменной для случаев

С учетом того, что ступенчатому сигналу соответствует довольно большая полоса частот, система управления компенсирует изменение параметров вполне удовлетворительно.