6.5.3. ДИСКРЕТНЫЕ НАБЛЮДАТЕЛИ

В данном разделе рассматриваются динамические системы, которые способны восстановить состояние другой, наблюдаемой системы.

Определение 6.1.8. Система

является наблюдателем полного порядка для системы

если

приводит к

Заметим, что в соответствии, с изложенным в разд. 6.5.2 последним наблюдением, которое обрабатывает наблюдатель для определения является . Следующая теорема дает дополнительную информацию о структуре наблюдателя.

Теорема 6.38. Система (6.398) является нйблюдателем полного порядка для системы (6.399) тогда и только тогда, когда

для всех , где является произвольной матрицей с переменными параметрами.

Эту теорему нетрудно доказать вычитанием разностных уравнений состояния (6.399) и (6.398). С помощью (6.402) наблюдатель может быть представлен следующим образом:

Наблюдатель состоит из модели системы с дополнительным воздействием в «ачестве входной переменной, которое пропорционально разности наблюдаемой переменной и его предсказанного значения

Обсудим теперь вопросы об устойчивости наблюдателя и о поведении ошибки восстановления

Теорема 6.39. Рассмотрим наблюдатель (6.398) для системы (6.399). В этом случае ошибка восстановления

удовлетворяет разностному уравнению

Ошибка восстановления обладает таким свойством, что

для всех тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым.

Разностное уравнение (6.406) нетрудно получить вычитанием разностных уравнений состояния (6.399) и (6.398). Поведение определяет как устойчивость наблюдателя, так и поведение ошибки восстановления; таким образом, доказывается и вторая часть теоремы.

Как и в непрерывном случае, рассмотрим теперь, при каких условиях существует матрица коэффициентов К, которая стабилизирует наблюдатель и, таким образом, всегда обеспечивает стремление к нулю ошибки восстановления. Ограничиваясь рассмотрением систем с постоянными параметрами, имеем следующий результат.

Теорема 6.40. Рассмотрим наблюдатель с постоянными параметрами

для системы с постоянными параметрами

В этом случае полюса наблюдателя (т.е. характеристические числа матрицы ) могут быть произвольно расположены в комплексной плоскости (при ограничении, что комплексные полюса образуют комплексно-сопряженные пары) соответствующим выбором матрицы коэффициентов К тогда и только тогда, когда система (6.409) является полностью восстанавливаемой.

Доказательство этой теоремы непосредственно следует из рассмотрения непрерывного эквивалента (теорема 4.3, разд. 4.2.2). Для систем, которые являются только обнаруживаемыми, имеем следующий результат.

Теорема 6.41. Рассмотрим наблюдатель с постоянными параметрами (6.408) для системы с постоянными параметрами (6.409). В этом случае соответствующий выбор матрицы коэффициентов К обеспечивает асимптотическую устойчивость наблюдателя тогда и только тогда, когда система (6.409) является обнаруживаемой.

Особый интерес представляет случай, когда все полюса наблюдателя размещаются в начале координат, т. е. все характеристические числа матрицы являются нулевыми. Тогда характеристический полином матрицы имеет вид

так что по теореме Кэли—Гамильтона

Отсюда повторяемым применением разностного уравнения (6.406) для ошибки восстановления получим соотношение

для любого отсюда следует, что любое начальное значение уменьшается до нуля самое большее за шагов. Аналогично апериодическому закону управления наблюдатели с таким свойством назовем апериодическими наблюдателями. Такие наблюдатели осуществляют полное точное восстановление самое большее за шагов.

Наконец, отметим, что, если система (6.409) имеет скалярную наблюдаемую переменную у, получается единственное решение матрицы коэффициентов К для заданного множества полюсов наблюдателя. Однако в случае многомерных систем существует в общем много различных матриц коэффициентов, которые приводят к одному и тому же множеству полюсов наблюдателя.

Наблюдатели, рассматривавшиеся пока что в этом разделе, является системами той же размерности, что и наблюдаемая система. Поскольку уравнение выходной переменной имеет вид имеем уравнений относительно неизвестного состояния (полагая, что — размерность переменной у); ясно, что необходимо построить наблюдатель пониженного порядка размерности , чтобы восстановить полностью. Этот наблюдатель может быть построен более или менее аналогично непрерывному случаю (разд. 4.2.3).

Пример 6.22. Цифровая система управления положением

Рассмотрим цифровую систему управления положением из примера 6.2 (разд. 6.2.3), которая описывается разностным уравнением состояния

Как и в примере 6.21, предположим, что наблюдаемой переменной является угловое положение, но существует еще запаздывание при обработке данных, равное 0,02 с. Это приводит к следующему уравнению наблюдаемой переменной:

Нетрудно убедиться, что рассматриваемая система является полностью восстанавливаемой, так что теорема 6.40 применима. Пусть Тогда найдем

Эта матрица имеет характеристичевкий полином

Апериодический наблюдатель получаем из системы

Отсюда определяем матрицу коэффициентов

Наблюдатель с такими коэффициентами уменьшает любую начальную ошибку восстановления до нуля самое большее за два шага.