3.8. Асимптотические свойства оптимальных законов управления с постоянными параметрами

3.8.1. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПОЛЮСОВ ОПТИМАЛЬНОЙ ЗАМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

В разд. 3.2 было показано, что устойчивость линейных систем управления с обратной связью и постоянными параметрами можно обеспечить или повысить путем соответствующего размещения

полюсов замкнутой системы в левой половине комплексной плоскости. Однако при этом не определялись наиболее рациональные типы размещения полюсов. В разд. 3.3 и 3.4 была изложена теория линейных оптимальных систем управления с обратной связью. Для оптимальных систем с постоянными параметрами, очевидно, интересным вопросом являются типы размещения полюсов замкнутой системы. Данный раздел посвящей изучению типов размещений полюсов. В результате будет получена полезная информация об ожидаемой реакции оптимальных регуляторов.

Выберем в задаче регулирования с постоянными параметрами выражение для в виде

где — положительно определенная симметрическая матрица, — положительный скаляр. При таком выборе критерий оптимальности определяется выражением

Параметр показывает, какой вес приписывается входному воздействию; при большой величине амплитуда входного воздействия мала, а при малой величине допускаются большие амплитуды входного воздействия. Ниже рассмотрим вопрос, каким образом изменяется распределение полюсов оптимального замкнутого регулятора в функции Для этого используем методы корневого годографа.

В разд. 3.4.4 было показано, что полюса оптимальной замкнутой системы являются характеристическими числами матрицы в левой половине комплексной плоскости, где

Используя лемму 1.2 (разд. 1.5.4) и лемму 1.1 (разд. 1.5.3), представим в следующем виде;

где — размерность вектора состояния

Для простоты сначала исследуем случай, когда входное воздействие и и управляемая переменная z являются скалярами, а также

В конце этого раздала возвратимся к случаю многомерной системы. Из выражения (3.473) следует, что в случае системы с одним входом и одним выходом (со скалярными входной и выходной переменными) полюса замкнутой системы находятся в левой половине комплёксной плоскости:

где — скалярная функция.

Представим в форме

где — полином. Из этого выражения следует, что полюса замкнутой системы являются корнями следующего уравнения, расположенными в левой половине комплексной плоскости

Для определения годографа полюсов замкнутой системы можно использовать два метода. Согласно первому методу, уравнение (3.478) представляется в виде функции заменяется на и определяется корневой годограф в -плоскости. Полюса замкнутой системы затем определяются как квадратные корни в левой полуплоскости из корней в -плоскости. Этот метод называется методом квадратичного корневого годографа [35].

Для наших целей более удобно строить годограф корней в -плоскости. Напишем

где — нули — полюса Чтобы привести уравнение (3.478) к стандартному виду, перепишем его с учетом (3.479):

Используя правила разд. 1.5.5, сделаем следующие выводы.

а) При корней уравнения (3.480) из общего числа асимптотически приближаются к нулям и их отрицательным значениям

б) При другие корней уравнения (3.480) асимптотически приближаются к прямым линиям, которые пересекаются в начале координат и образуют с положительной вещественной осью углы, равные

в) При удаленных корней уравнения (3.480) асимптотически удалены от начала координат на расстояние

г) При корней уравнения (3.480) приближаются к геполюсамл и их отрицательным значениям

Поскольку полюса оптимальной замкнутой системы являются корнями уравнения (3.480) в левой полуплоскости, можно сделать следующий вывод [87].

Теорема 3.11. Рассмотрим установившееся решение задачи регулирования для системы с одним входом и одним выходом при Предположим, что разомкнутая система является стабилизируемой и обнаруживаемой, а передаточная функция определяется выражением

— характеристические числа системы. Тогда имеем следующее.

а) При из характеристических, чисел оптимальной замкнутой системы асимптотически приближаются к числам где

б) При оставшиеся характеристических чисел оптимальной замкнутой системы асимптотически приближаются к прямым линиям, которые пересекаются в начале координат и образуют с отрицательной вещественной осью углы, равные

Эти удаленные характеристические числа замкнутой системы асимптотически удалены от начала координат на расстояние

в) При характеристических чисел замкнутой системы приближаются к числам где

Распределение полюсов, указанное в известно как распределение (размещение) Баттерворса порядка с радиусом На рис. 3.19 указаны некоторые типы распределения

Рис. 3.19. Распределения полюсов по Баттерворсу первого — пятого порядков с единичным радиусом (соответственно графики 1—5).

Баттерворса невысокого порядка. В следующем разделе будет рассмотрено, каким характеристикам системы соответствуют такие распределения.

На рис. 3.20 приведен пример поведения полюсов замкнутой системы при гипотетическом распределении полюсов и нулей. Крестики обозначают полюса, а кружки — нули разомкнутой системы. Так как полюсов на два больше нулей, то при имеет место распределение Баттерворса второго порядка. Оставшийся полюс замкнутой системы приближается к нулю разомкнутой системы при . При полюса замкнутой системы приближаются к единственному полюсу разомкнутой системы в левой полуплоскости и к зеркальным отражениям двух пойюсов разомкнутой системы в правой полуплоскости.

Вернемся вновь к случаю многомерной системы. Исследуем корни уравнения

Рис. 3.20. Корневой годограф характеристических чисел матрицы (пунктирные и сплошные линии) и полюсов замкнутой системы (только сплошные линии) для системы с одним входом и одним выходом при фиктивном распределении полюсов (X) и нулей (О) разомкнутой системы.

Задача определения корневого годографа для этого выражения является не такой простой, как в случае системы со скалярной входной переменной. Анализ определителя приводит к выражению

где функции — полиномы . В работе [151] указаны правила, которым необходимо следовать при определении корневого годографа для такого выражения. Интерес представляет только асимптотическое поведение корней при Корни уравнения (3.488) являются также корнями уравнения

При некоторые корни стремятся к бесконечности; корни, принимающие конечную величину, достигают нулей выражения

при условии, что это выражение но равно тождественно нулю. Предположим, что является квадратной матричной передаточной функцией (в разд. 3.7 было показано, что такое допущение естественно). Из разд. 1.5.3 известно, что

Здесь — полином степени не больше где — размерность системы, а k — размерность и Таким образом, можно записать вместо выражения (3.491)

Из этого следует, что при корни уравнения (3.490), имеющие конечные значения, приближаются к нулям передаточной функции и их отрицательным значениям. Это означает, что полюса оптимального замкнутого регулятора, которые принимают конечное значение, приближаются к нулям которые имеют отрицательные вещественные части, и к отрицательным значениям нулей, имеющим неотрицательные вещественные части.

Оказывается [151], что прир отдаленные полюса замкнутого регулятора, т. е. полюса, которые стремятся в бесконечность, обычно образуют не одно распределение Баттерворса, как в случае системы с одним входом, а несколько распределений Баттерворса различного порядка и различного радиуса (см. примеры 3.19 и 3.21). Грубую оценку расстояния от удаленных полюсов до начала координат можно получить следующим образом. Обозначим через характеристический полином замкнутой системы. Тогда имеем

При малых значениях правую часть этого выражения можно аппроксимировать выражением

где k — размерность входной переменной. Напишем

Тогда член со старшей степенью в выражении (3.491) определяется выражением

Из этого следует, что полином содержит следующие члены:

Данные члены представляют собой член с наивысшей степенью и член с наивысшей степенью Аппроксимация удаленных корней этого полинома (при малых значениях ) определяется из выражения

Из этого следует, что полюса замкнутой системы аппроксимируются следующими решениями в левой полуплоскости:

Эта аппроксимация описывает распределение Баттерворса порядка и используется для оценки расстояния от удаленных полюсов до начала координат. Такая оценка (грубая) определяется выражением

Наконец, рассмотрим поведение полюсов замкнутой системы при . В этом случае из выражения (3.494) следует, что характеристические числа матрицы приближаются к корням

Это означает, что полюса замкнутой системы достигают чисел определяемых выражением (3.487).

Подытожим полученные результаты для случая системы с многими входами в следующем виде.

Теорема 3.12. Рассмотрим установившееся решение задачи регулирования для многомерной системы с постоянными параметрами. Предположим, что разомкнутая система является

стабилизируемой и обнаруживаемой и что входная переменная и и управляемая переменная z имеют одинаковую размерность к, а вектор состояния х имеет размерность Пусть H(s) - -матричная передаточная функция разомкнутой системы

Предположим, что является характеристическим полиномом разомкнутой системы, и напишем

Предположим, что и примем при

а) Тогда при полюсов оптимального разомкнутого регулятора достигают значений где

Остальные полюса замкнутой системы стремятся к бесконечности и образуют несколько распределений Баттерворса различного порядка и с различным радиусом. Грубая оценка расстояния от удаленных полюсов до начала координат определяется выражением

б) При полюсов замкнутого регулятора достигают чисел где

Закончим этот раздел следующими замечаниями. Когда очень мало, допустимы большие амплитуды входного воздействия. В результате этого движение системы может быть быстрым, что проявляется в виде большого расстояния от удаленных полюсов до начала координат. Очевидно, распределение полюсов по Баттерворсу дает хорошие результаты. Некоторые из полюсов замкнутой системы, однако, не могут сильно удаляться и смещаются только до расположения нулей разомкнутой системы. Как будет показано ниже в этом разделе, в системах с нулями в левой полуплоскости только эти близко расположенные полюса «компенсируются»

нулями разомкнутой системы. Это означает, что их влияние на поведение управляемой переменной не является заметным.

Случай соответствует весьма сильному ограничению на амплитуду входного воздействия. Интересно отметить, что «наиболее экономичным» законом стабилизации («экономичным» с точки зрения величины амплитуды входного воздействия) является закон управления, который перемещает полюса неустойчивой системы в их зеркальное отражение в левой полуплоскости.

Задача 3.11.14 даетнекоторые сведения относительно асимптотического поведения полюсов замкнутых систем, у которых

Пример 3.18. Система управления положением

В примере 3.8 (разд. 3.4.1) была исследована зависимость распределения полюсов оптимальной системы управления положением от параметра Как было показано, полюса замкнутой системы образуют распределение Баттерворса второго порядка. Это соответствует результатам данного раздела. Так как передаточная функция разомкнутой системы

не имеет нулей, то полюса замкнутой системы устремляются в бесконечность

Пример 3.19. Смесительный бак

В качестве примера многомерной системы рассмотрим задачу регулирования смесительного бака из примера 3.9 (разд. 3.4.1). Из примера 1.15 (разд. 1.5.3) известно, что матричная передаточная функция разомкнутой системы бака определяется выражением

Для этой матричной передаточной функции имеем

Очевидно, что матричная передаточная функция не имеет нулей; поэтому можно ожидать, что все полюса замкнутой системы будут смещаться в бесконечность при Найдем характеристический полином матрицы с численными значениями и из примера 3.9: 1

Рис. 3.21. Годограф корней замкнутой системы для регулятора смесительного бака. а — годограф начинается в точке -0,02; б — годограф начинается в точке —0,01.

На рис. 3.21 показано поведение двух полюсов замкнутой системы при изменении Очевидно, каждый полюс образует распределение Баттерворса первого порядка. Асимптотическое поведение корней для можно найти, решая уравнение

которое определяет асимптотические распределения полюсов замкнутой системы:

Выражение (3.505) дает оценку расстояния от удаленных полюсов до начала координат:

Видно, что эта величина является геометрическим средним значений (3.512).

Пример 3.20. Управление углом тангажа самолета

В качестве более сложной системы управления рассмотрим систему управления продольным движением самолета (рис. 3.22.). Это движение характеризуется скоростью и по оси х самолета, скоростью но оси углом тангажа и скоростью изменения

Рис. 3.22. Продольное движение самолета.

тангажа Оси х и z жестко связаны с самолетом. Ось х совпадает с горизонтальной осью, когда самолет совершает горизонтальный установившийся полет.

Управляемыми переменными в этих движениях являются тяга двигателя Т и угол отклонения руля высоты 8. Уравнения движения можно линеаризовать относительно номинального решения, которое представляет собой горизонтальный полет с постоянной скоростью. Можно показать (201, что линеаризованные уравнения продольного движения не зависят от уравнений бокового движения.

Выберем следующие переменные состояния:

Входную переменную, обозначаемую через с, определим следующим образом:

Здесь — приращение тяги двигателя, — отклонение руля высоты.

Используя эти обозначения, можно получить дифференциальные уравнения на основе законов инерции и аэродинамики, описывающих движение самолета [20]. Для частного случая крейсерского полета транспортного самолета среднего веса получим следующее линеаризованное дифференциальное уравнение состояния:

Здесь используются следующие единицы измерения физических величин: .

В этом примере тяга полагается постоянной, поэтому отклонение руля высбты является единственной управляющей переменной. Тогда система описывается дифференциальным уравнением состояния

В качестве управляемой переменной выберем угол тангажа

Можно показать, что передаточная функция угла тангажа по отклонению руля высоты определяется выражением

Полюса передаточной функции составляют

Рис. 3.23. Годограф иолюсов замкнутой системы стабилизации по тангажу а — удаленные полюса; б — близко расположенные полюса. (см. скан)

а ее нули равны

Годограф полюсов замкнутой системы можно вычислить на ЦВМ. Полюса указаны на рис. 3.23. Как и следовало ожидать, удаленные полюса образуют размещение Баттерворса второго порядка, а близко расположенные полюса замкнутой системы приближаются к нулям разомкнутой системы. Эта система рассматривается в примере 3.22.

Пример 3.21. Управление продольным движением самолета

В примере 3.20 было рассмотрено управление тангажом самолета с помощью отклонения руля высоты. В данном примере расширим систему за счет управления скоростью по оси х в дополнение к тангажу. Как дополнительный параметр управления используем приращение тяги двигателя Таким образом, в качестве входной переменной выберем

а в качестве управляемой переменной

Из дифференциального уравнения состояния системы (3.516) можно вычислить, что матричная передаточная функция системы имеет полиномиальный числитель

которому соответствует один нуль разомкнутой системы Полюса разомкнутой системы равны

При дальнейшем анализе задачи необходимо выбрать весовые матрицы и Предположим, что эти матрицы имеют диагональную форму, а для определения их величин поступим таким же образом, как и в примере 3.9 (разд. 3.4.1) для смесительного бака. Предположим, что Тогда

Примем, что отклонение величины скорости по оси х на оказывает такое же воздействие, как и отклонение по углу тангажа на 0,2 рад (12°). Поэтому выберем следующее соотношение между

или

Таким образом, выбираем

где для удобства положим Аналогично предположим, что и

Чтобы определить будем полагать, что изменение тяги двигателя на 500 Н допустимо так же, как и разброс отклонения руля высоты на 0,2. рад (12°). Это приводит к выбору

из которого следует

При таких значениях соотношение (3.505) дает следующую оценку расстояния до удаленных полюсов:

Размещение полюсов замкнутой системы находится путем вычислепий на ЦВМ. В табл. 3.4 указаны полюса замкнутой темы при различных значениях и приведены значения оцениваемого радиуса Отметим, во-первых, что один из полюсов замкнутой системы цриближается к нулю разомкнутой системы при —1,002. Кроме того, видно, что является всего лишь очень грубой оценкой расстояния от удаленных полюсов до начала координат.

Таблица 3.4. Полюса замкнутой системы обеспечения продольной устойчивости самолета (см. скан)

На рис. 3.24 приведены годографы для замкнутой системы. Отметим, что по виду эти годографы сильно отличаются от годографов для систем со скалярной входной переменной. Два из общего числа удаленных полюсов образуют размещение Баттерворса

(кликните для просмотра скана)

второго порядка, а третий полюс - размещение Баттерворса первого порядка. Система, соответствующая такому размещению, обсуждается далее в примере 3.24.