2.7. Влияние возмущений в скалярном случае

В разд. 2.3 указывалось, что система управления часто подвергается воздействию возмущений, в результате чего ухудшаются показатели качества слежения. В данном разделе устанавливаются выражения, определяющие возрастание установившихся средних значений квадрата, ошибки слежения и квадрата входной переменной за счет действия возмущений, и формулируются

принципы проектирования, которыми можно руководствоваться при проектировании систем управления, способных противодействовать возмущениям.

Для данного раздела принимаются следующие допущения.

1. Возмущающая переменная является стохастическим процессом, который, не коррелирован с эталонной переменной и шумом наблюдений

Это позволяет определить возрастание значения среднего квадрата ошибки слежения среднего значения квадрата входной перемепиой, положив равными нулю.

2. Управляемая переменная является также наблюдаемой переменной, т.е.

Это означает, что можно написать

и что в случае постоянных параметров

Допущение о том, что управляемая переменная является также наблюдаемой переменной, вполне правомерно, так как интуитивно ясно, что обратная связь является наиболее эффективной, если она осуществляется по самой управляемой переменной.

3. Система управления является асимптотически устойчивой и имеет постоянные параметры.

4. Входная и управляемая переменные и, следовательно, эталонная переменная являются скалярными, а весовые матрицы равны 1.

Выводы данного раздела могут быть распространены на случай многомерных систем; такие обобщения приводятся в конце настоящего и последующего разделов.

5. Возмущающая переменная может быть записана в виде

где постоянная часть возмущающей переменной является стохастическим вектором с заданной матрицей вторых моментов, а переменная часть возмущающей переменной является стационарным в широком смысле некоррелированным с стохастическим процессом с нулевым средним и матрицей спектральных плотностей энергии

Матричная передаточная функция от возмущающей переменной до управляемой переменной может быть найдена из следующего соотношения (рис. 2.24):

где обозначают преобразования Лапласа переменных соответственно; отсюда

Здесь использован тот факт, что управляемая переменная является скалярной, поэтому величина также является скалярной функцией. Введем функцию которую назовем функцией чувствительности системы управления; смысл ее объясняется позднее.

Рис. 2.24. Блок-схема матричной передаточной функции замкнутой системы управления при наличии приложенного к объекту возмущения

Вычислим составляющую от возмущающей переменной в установившемся среднем значении квадрата ошибки слежения как сумму двух членов, первый из которых обусловлен постоянной частью, а второй — переменной частью возмущений. Поскольку

установившаяся реакция управляемой переменной от постоянной части возмущений определяется следующим образом:

Здесь предполагается, что Матрица А неособая (случай, когда А — особая матрица, рассматривается в задаче 2.12.4), а также использовано обозначение

В результате из (2.140) следует, что составляющая от постоянной

части возмущений в установившемся среднем значении квадрата ошибки слежения равна

где — момент второго порядка величины На основании методов разд. 1.10.3 и 1.10.4 из (2.139) следует, что составляющая от переменной части возмущений в установившемся среднем значении квадрата ошибки слежения может быть выражена в виде

Здесь принято обозначение

Следовательно, увеличение установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения от действия возмущений определяется выражением

Перед обсуждением задачи о том, как сделать это выражение малым, рассмотрим его более подробно. Пусть имеет место ситуация, показанная на рис. 2.25, где переменная действует на

Рис. 2.25. Блок-схема матричной передаточной функции замкнутой системы-управления при наличии эквивалентного возмущения управляемой переменной.

замкнутую систему. Эта переменная добавляется к управляемой переменной. Нетрудно установить, что при нулевых начальных условиях и нулевой эталонной переменной преобразование Лапласа управляемой переменной определяется в виде

где обозначает преобразование Лапласа переменной Отсюда непосредственно следует, что, если — стохастический процесс, постоянная часть которого является стохастической величиной с моментом второго порядка а переменная часть — стационарным в широком смысле стохастическим процессом с нулевым средним и спектральной плотностью энергии увеличение установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения точно определяется выражением (2.145). Поэтому назовем процесс с такими свойствами эквивалентным возмущением управляемой переменной.

Исследование (2.145) приводит к следующему правилу проектирования.

Принцип проектирования 2.5. Чтобы уменьшить прирост установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения, обусловленный возмущениями, в асимптотически устойчивой линейной системе управления с постоянными параметрами и скалярной управляемой переменной, которая является также наблюдаемой переменной, абсолютное значение функции чувствительности нужно сделать малым в полосе частот эквивалентного возмущения управляемой переменной. Если особое внимание уделяется устранению постоянных ошибок, то должно быть сделано малым, предпочтительно нулевым.

Последнее утверждение данного правила проектирования не является справедливым без допущения о том, что матрица А объекта является леособой; этот случай обсуждается в задаче 2.12.4. Заметим, что, поскольку определяется выражением

малое значение обычно достигается при большом коэффициенте усиления цепи системы управления в соответствующем диапазоне частот. Это противоречит принципу проектирования 2.1, относящемуся к устойчивости системы управления (пример 2.5, разд. 2.4). Следовательно, должен быть найден компромисс.

Уменьшение, постоянных ошибок представляет собой задачу особой важности в системах регулирования и слежения, где заданная точка управляемой переменной должна выдерживаться с

большой точностью. Постоянные возмущения часто возникают системах управления, особенно из-за ошибок, сделанных при установлении номинального входного сигнала. Постоянные ошибки могут быть полностью ликвидированы при что обычно достигается введением интегрирующего действия регулятора, т. е. установлением в передаточной функции регулятора полюса в начале координат (см. задачу 2.3).

Займемся рассмотрением установившегося среднего значения квадрата входной переменной. Нетрудно найти, что в терминах преобразования Лапласа можно написать (рис. 2.24)

где преобразование Лапласа переменной Отсюда следует, что увеличение установившегося среднего значения квадрата входной переменной, используя введенные в данном разделе обозначения, можно представить в следующем виде:

Сиса (с возмущениями) — (без возмущений)

Это выражение позволяет сформулировать следующую рекомендацию.

Принцип проектирования 2.6. Чтобы получить малый прирост установившегося среднего значения квадрата входной переменной, обусловленного возмущениями, в асимптотически устойчивой линейной системе управления с постоянными параметрами и скалярной управляемой переменной, которая является и наблюдаемой переменной, и скалярной входной переменной, необходимо, чтобы выражение

принимало малые значения в полосе частот эквивалентного возмущения управляемой переменной.

В этой рекомендации не уделяется внимания постоянной части входной переменной, поскольку, как предполагалось при обсуждении принципа 2.3, объект должен обладать способностью выдерживать эти постоянные отклонения.

Принцип проектирования 2.6 противоречит принципу 2.5. Увеличение коэффициента усиления цепи как требует принцип проектирования 2.5, обычно приводит к малым значениям выражения (2.150). Здесь снова должен быть найден компромисс.

Пример 2.10. Влияние возмущений на систему управления положением

В этом примере исследуется влияние возмущений на вариант I системы управления положением из примера 2.4 (разд. 2.3). Нетрудно найти, что функция чувствительности системы управления определяется выражением

На рис. 2.26 представлены логарифмические характеристики при некоторых значениях коэффициента Очевидно, что при больших значениях полоса частот, в которой подавляются возмущения, также становится шире.

Рис. 2.26. Логарифмические частотные характеристики функции чувствительности системы управления положением (вариант I) при различных значениях коэффициента X.

Если, однако, эквивалентное возмущение управляемой переменной имеет большую энергию вблизи частоты, соответствующей пику характеристики то можно рекомендовать меньшее значение коэффициента.

В примере 2.4 предполагалось, что возмущение представляет собой возмущающий момент приложенный к валу двигателя. Если переменная часть этого возмущающего момента имеет функцию спектральной плотности то переменная часть эквивалентного возмущения управляемой переменной имеет функцию спектральной плотности

Спектральная плотность составляющей от возмущающего момента в управляемой переменной находится умножением (2.152) на , таким образом, равна

Предположим, что переменная часть возмущающего момента может быть представлена как экспоненциально коррелированный шум со среднеквадратическим значением и постоянной времени так что

Прирост установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения, обусловленный возмущающим моментом, может быть вычислен интегрированием (2.153) или путем моделирования возмущения, т. е. расширением состояния дифференциальной системы и решение уравнения относительно матрицы установившихся дисперсий расширенного состояния. Тем или другим способом находим

Отсюда видим, что слагаемое в обусловленное возмущением, монотонно убывает до нуля при увеличении Таким образом, чем больше тем в меньшей степени возмущающий момент оказывает влияние на точностные свойства.

В отсутствие эталонной переменной имеем так что прирост среднего значения квадрата входного напряжения, обусловленный возмущающим моментом, в раз больше прироста среднего значения квадрата ошибки слежения

При величина монотонно возрастает до значения

Из (2.25) нетрудно найти, что постоянный возмущающий момент То приводит к установившемуся отклонению управляемой переменной на. величину

Очевидно, что при достаточно большом коэффициенте X это отклонение может быть сделано какугодно малым.