6.4.5. СТОХАСТИЧЕСКИЙ ДИСКРЕТНЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ОПТИМАЛЬНЫЙ РЕГУЛЯТОР

Задача построения стохастического дискретного линейного оптимального регулятора формулируется следующим образом.

Определение 6. 17. Рассмотрим дискретную линейную систему

где образует последовательность некоррелированных стохастических величин с нулевым средним и матрицами дисперсий Пусть

является управляемой переменной. Тогда задачу минимизации, критерия

назовем задачей построения стохастического дискретного линейного оптимального регулятора. Если все матрицы в сформулированной задаче постоянные, то имеет место задача построения стохастического дискретного линейного оптимального регулятора с постоянными параметрами.

Как и в непрерывном случае, решение задачи стохастического регулирования идентично решению детерминированного эквивалента [7, 103, 167].

Теорема 6.33. Критерий (6.281) в задаче построения стохастического дискретного линейного оптимального регулятора минимизируется выбором входной переменной согласно закону управления

где

Последовательность матриц является решением матричного разностного уравнения

с конечным условием

Здесь

Значение критерия (6.281), получаемое при этом законе управления, определяется выражением

Эта теорема может быть доказана путем использования принципов динамического программирования из разд. 6.4.3. Заметим, что теорема 6.33 определяет линейный закон управления (6.282) как оптимальное решение без каких-либо ограничений. Это отличается от непрерывного случая (теорема 3.9, разд. 3.6.3), где рассмотрение было ограничено линейными законами управления.

Как и в непрерывном случае, задача стохастического регулирования включает в себя задачи регулирования с учетом возмущений, задачи слежения в отсутствие возмущений и задачи слежения при наличии возмущений. И в этом случае структура решений каждого из указанных вариантов задачи такова, что на коэффициент обратной связи по состоянию объекта не оказывают влияния свойства возмущений в эталонной переменной (см. задачи 6.2 и 6.3).

Здесь также можно исследовать, в каком смысле установившийся оптимальный закон управления является оптимальным. Как и в непрерывном случае, можно предположить, что установившийся закон управления минимизирует выражение

(полагая, что это выражение существует для установившегося оптимального закона управления) относительно всех линейных законов управления, для которых это выражение существует. Минимальное выражение (6.288) принимает вид

где является установившимся решением уравнения (6.284). В случае постоянных параметров установившийся закон управления, кроме того, минимизирует

относительно всех законов управления с постоянной настройкой. Минимальная величина выражения (6.290) рвна

Эти результаты обсуждаются в работе [103].

Пример Смесительный бак при наличии возмущений

В примере 6.10 (разд. 6.2.12) с помощью стохастического разностного уравнения (6.168) была описана модель смесительного бака при наличии возмущений в концентрациях входных потоков. Если в качестве компонент управляемой переменной выбрать выходной расход и концентрацию в баке, то получаем

Рассмотрим критерий

где весовые матрицы выбираются такими же, как и в примере 6.15. При после численных расчетов получим следующую матрицу установившихся коэффициентов обратной связи

Сравнение с решением из примера 6.15 показывает, что, как и в непрерывном случае, введение в модель возмущений (см. задачу 6.8.2) на обратную связь закона управления (описываемую первыми двумя столбцами матрицы не влияет.

Установившиеся среднеквадратические значения выходного расхода, концентрации и входных расходов могут быть вычислены посредством составления разностного уравнения состояния замкнутой системы и решения относительно -матрицы установившихся дисперсий состояния расширенной системы.