1.3.2. ПЕРЕХОДНАЯ МАТРИЦА СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Переходная матрица системы с постоянными параметрами может быть вычислена точно [50, 139, 190].
Теорема 1.4. Система с постоянными параметрами
имеет переходную матрицу
где экспоненциал квадратной матрицы М определяется как ряд
который сходится для всех М.
При малых размерах или простой структуре матрицы А этот результат может быть использован для точного представления переходной матрицы с помощью элементарных функций (см. пример 1.3). При большой размерности матрицы А теорему 1.4 вполне можно использовать для вычисления переходной матрицы на ЦВМ, так как все требуемые алгебраические действия весьма просто запрограммировать и выполнить. Такие программы должны включать в себя алгоритм остановки с целью ограничения бесконечного ряда конечным числом членов. Обычный алгоритм остановки заключается в ограничении ряда, когда добавление нового члена изменяет каждый из элементов частичной суммы меньше, чем на заданную величину. При слишком больших М могут возникнуть вычислительные трудности; это связано с тем, что приращение 
в уравнении (1.68) не может быть выбрано слишком большим [88, 91]. Наличие программы для вычисления матричного экспоненциала необходимо каждому исследователю, моделирующему линейные системы с постоянными параметрами. Существуют многочисленные работы по вычислению матричного экспоненциала и моделированию линейных систем, в частности можно рекомендовать работы [17, 56, 58, 100, 109, 111—114, 124, 136, 148, 173, 177-7179]. Мелса [127 1 приводит программу вычислений на ФОРТРАНе.
С учетом уравнения (1.68) выражение (1.63) в случае постоянных параметров принимает вид
Сравнивая (1.64) и (1.70), можно видеть, что матричная импульсная переходная функция линейной дифференциальной системы с постоянными параметрами зависит только от 
и может быть представлена как
Пример 1.3. Смесительный бак
Однородное уравнение, соответствующее линеаризованному дифференциальному уравнению состояния бака из примера 1.2, имеет вид
Нетрудно найти, что его переходная матрица есть
где
Рис. 1.4. Реакция смесительного бака на, ступенчатое изменение расхода.
Матричная импульсная переходная функция системы равна
Теперь найдем матричную переходную функцию бака
На рис. 1.4 представлены переходные функции для численных значений параметров из примера 1.2.
