1.10.3. РЕАКЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ НА СТОХАСТИЧЕСКИЕ ВХОДНЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ

В данном разделе рассматриваются статистические свойства реакции линейной системы при входном воздействии, представляющем собой реализацию стохастического процесса. В связи с этим имеем следующий результат.

Теорема 1.47. Рассмотрим линейную систему с матричной импульсной переходной функцией находящуюся в момент в нулевом состоянии. Предположим, что входное воздействие на систему является реализацией стохастического процесса с нулевым средним и ковариационной матрицей . Тогда выходная переменная является реализацией стохастического процесса со средним

и ковариационной матрицей

при условии, что интегралы существуют.

Рассмотрим формальное доказательство этих результатов. Выгодная переменная у, соответствующая стохастическому процессу, описывается выражением

Определяя математическое ожидание обеих частей уравнения (1.457) и меняя местами порядок выполнения операций интегрирования и математического ожидания, нетрудно получить выражение (1.455).

Подобным же образом можно написать (предполагая для простоты

Для системы с постоянными параметрами и стационарным в широком смысле процессом имеем следующий результат.

Теорема 1.48. Предположим, что линейная система, рассмотренная в теореме 1.47, является асимптотически устойчивой системой с постоянными параметрами и матричной импульсной переходной функцией и что входной стохастический процесс чкляется стационарным в широком смысле с ковариационной матрицей Тогда, если входное воздействие на систему является реализацией процесса который приложен с момента выходная переменная является реализацией стационарного в широком смысле стохастического процесса с ковариационной матрицей

Заметим, что в обозначении матричной импульсной переходной функции К и ковариационной матрицы допущена некоторая неточность. Как было видно из разд. 1.3.2, матричная импульсная переходная функция системы с постоянными параметрами зависит т.чько от Результат (1.459) может быть найден из (1.456) при устремлении и некоторых простых подстановках.

Для стационарных в широком смысле процессов представляет интерес определение матрицы спектральных плотностей.

Теорема 1.49. Рассмотрим асимптотически устойчивую линейную систему с постоянными параметрами и матричной передаточной функцией Предположим, что входная переменная является реализацией стационарного в широком смысле стохастического процесса с матрицей спектральных плотностей который приложен с момента времени Тогда выходная переменная является реализацией стационарного в широком смысле стохастического процесса с матрицей спектральных плотностей

Этот результат нетрудно получить, если осуществить преобразование Фурье (1.459) после замены на переменную и использования того факта, что является преобразованием Лапласа .

Пример 1.31. Смесительный бак

Рассмотрим смесительный бак из примера 1.2 (разд. 1.2.3.) и предположим, что имеют место флуктуации концентраций . Поэтому напишем

где являются средними концентрациями, — флуктуациями относительно средних. Нетрудно показать, что уравнения линеаризованной системы могут быть приведены к виду

Если положить входную переменную равной нулю, то матричная передаточная функция от возмущений

к выходной переменной может быть найдена следующим образом:

Очевидно, что возмущения действуют только на вторую компоненту выходной переменной Предположим, что являются двумя независимыми экспоненциально коррелированными шумовыми процессами, при этом ковариационная матрица процесса имеет следующий вид:

Найдем, что матрица спектральных плотностей процесса равна

Из (1.460) следует, что матрица спектральных плотностей энергии выходной переменной, обусловленная возмущением имеет вид