5.2. Регулирование линейной системы при неполных измерениях

5.2.1. СТРУКТУРА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

В этом разделе излагается детерминированный подход к задаче регулирования линейной системы при неполных измерениях. Рассмотрим систему, описываемую дифференциальным уравнением состояния

Наблюдаемая переменная определяется выражением

В гл. 3 рассматривались законы управления вида

для которых предполагалось, что можно точно измерить полное состояние Если состояние непосредственно не доступно для измерения, то естественный подход заключается в том, чтобы построить наблюдатель в форме

а затем использовать закон управления применительно к восстановленному состоянию

где имеет такой же вид, как и в выражении (5.5). На рис. 5.1 показаны взаимосвязи объекта, наблюдателя и закона управления. Подставляя выражение (5.7) для закона управления в уравнение наблюдателя (5.6), получим уравнения регулятора в форме

Это приводит к упрощенной структуре, представленной на рис. 5.2.

Замкнутая система, получаемая в результате соединения объекта с регулятором, представляет собой линейную систему размерности — размерность состояниям), которую можеш описать уравнением

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Проанализируем теперь свойства устойчивости замкнутой системы. С этой целью рассмотрим состояние и ошибку восстановления

Вычитая (5.6) из уравнения (5.3), с помощью (5.4) легко установить, что ошибка удовлетворяет уравнению

Подстановка в (5.3) и (5.7) дает

Анализ уравнения (5.11) показывает, что ошибка сходится к нулю независимо от начального состояния, если можно найти матрицу коэффициентов усиления которая делает решение (5.11) асимптотически устойчивым. Однако определение такой матрицы эквивалентно определению матрицы при которой наблюдатель будет асимототически устойчивым. Из гл. 4 известно, что такую матрицу во многих случаях можно найти.

Рассмотрим далее уравнение (5.12). Если матрицы ограничены и при то всегда сходится к пулю, если система

асимптотически устойчива. Из гл. 3 известно, что матрицу часто можно определить таким образом, чтобы уравнение (5.13) было асимптотически устойчиво. Следовательно, обычно существует возможность определить матрицы таким образом, чтобы уравнения (5.11) и (5.12) образовывали асимптотически устойчивую систему. Так как система (5.9) получается из системы, описываемой уравнениями (5.11) и (5.12) путем несингулярного линейного преобразования, то из этого следует, что обычно можно найти такие матрицы коэффициентов усиления при которых замкнутая система управления (5.9) устойчива. В следующем разделе определяются точные условия, при которых этого можно достичь.

Наконец, отметим следующее. Объединяя уравнения (5.11) и (5.12), получим

Рассмотрим случай системы с постоянными параметрами, где все матрицы, входящие в уравнение (5.14), постоянны. Тогда характеристические числа системы (5.14), которые также являются характеристическими числами системы (5.9), одновременно представляют собой нули выражения

Причина, по которой системы (5.9) и (5.14) имеют одинаковые характеристические числа, сострит в том, что их соответствующие векторы состояния связаны несингулярным линейным преобразованием (разд. 1.3). Следовательно, множество характеристических чисел замкнутой системы образует характеристические числа матрицы (полюса регулятора) и характеристические числа матрицы (полюса наблюдателя).

Теорема 5.1. Рассмотрим взаимосвязь системы с постоянными параметрами

наблюдателя с постоянными параметрами

и закона управления с постоянной настройкой

Тогда характеристические числа объединенной системы состоят из полюсов регулятора (характеристические числа матрицы и полюсов наблюдателя (характеристические числа матрицы

Эти результаты показывают, что можно раздельно рассматривать задачи определения асимптотически устойчивого наблюдателя и асимптотически устойчивого закона с обратной связью по состоянию, так как их взаимосвязь приводит к асимптотически устойчивой системе управления.

Однако возникает вопрос, можно ли, исходя из соображений. устойчивости, раздельно производить построение наблюдателя и закона управления. В разд. 5.3 дана постановка задачи стохастического оптимального регулирования. Решение этого стохастического варианта звдачи приводит к утвердительному ответу на только что поставленный вопрос.

Выше рассматривался только наблюдатель полного порядка. Можно показать, что наблюдатели пониженного порядка, объединенные с законами управления с обратной связью по состоянию, также приводят к полюсам замкнутой системы, которые состоят из полюсов наблюдателя и полюсов регулятора.

Пример 5.1. Система управления положением

Рассмотрим систему управления положением, описываемую дифференциальным уравнением состояния (см. пример 2.1, разд. 2.2.2, и пример 2.4, разд. 2.3)

с

Закон управления

дает характеристический полином регулятора

Выбирая значения

разместим полюса в точках Рассмотрим наблюдатель

в котором

Рис. 5.3. Реакция и входная переменная в системе управления положением с наблюдателем при

Рис. 5.4. Реакция и входная переменная в системе управления положением с обратной связью по состоянию (без наблюдателя) при .

является наблюдаемой переменной. Характеристический полином наблюдателя имеет вид

Чтобы повысить быстродействие наблюдателя в сравнении с регулятором, разместим полюса наблюдателя в точках Это дает следующие коэффициенты усиления:

На рис. 5.3 показана реакция системы управления с. обратной связью по выходной переменной на начальное состояние

Для сравнения на рис. 5.4 представлена реакция соответствующей системы с обратной связью по состоянию, в которой закон управления (5.21) непосредственно связан с состоянием. Отметим, что в системе с наблюдателем наблюдатель весьма быстро восстанавливает фактическое поведение состояния. Однако из-за небольшого запаздывания по времени, вносимого наблюдателем, требуется большее входное воздействие, а реакция несколько отличается от реакции системы без наблюдателя.

Пример 5.2. Система управления положениемаятника

В этом примере рассматривается система управления положением из примера 1.1 (разд. 1.2.3). Дифференциальное уравнение этой системы имеет вид

Компонентами состояния являются

Здесь — перемещение тележки, — угол, который маятник образует с вертикалью. Предполояйим, что обе эти величины можно измерить. В таком случае для наблюдаемой переменной получаем

Основной задачей в рассматриваемой системе управления является стабилизация положения. Поэтому примем в качестве управляемой переменной положение маятника

Сначала выберем полюса регулятора, решая задачу регулирования с использованием критерия

Выберем величину такой, чтобы оцениваемый радиус для удаленных полюсов, заданный, как в теореме 3.11 (разд. 3.8.1), был бы равен Тогда время успокоения будет . Из численных значений примера 1.1 следует, что период колебаний маятника составляет , поэтому выберем время успокоения несколько меньшим периода колебаний.

Чтобы вычислить из необходимо определить передаточную функцию системы от входного воздействия к управляемой переменной С. Эта передаточная функция определяется выражением

Из (3.486) следует

При численных значениях из примера 1.1 можно найти, что необходимо выбрать

чтобы получить угловую скорость приближенно равной Можно вычислить, что искомая установившаяся матрица коэффициентов усиления имеет вид

а полюса замкнутой системы равны На рис. 5.5 показана реакция системы управления с обратной связью на начальное состояние Видно, что входное воздействие

(кликните для просмотра скана)

равно —100 Н, перемещение тележки составляет а максимальное смещение маятника достигает

Предполагая, что эти характеристики приемлемы, перейдем теперь к определению наблюдателя для системы. Поскольку имеются две наблюдаемые переменные, для реализации заданного размещения полюсов наблюдателя матрицу коэффициентов усиления наблюдателя можно выбирать более или менее произвольно. Чтобы унростить задачу, введем ограничение, состоящее в том, что первая компонента наблюдаемой переменной (перемещение) используется только для восстановления состояния тележки (т. е. ), а вторая компонента наблюдаемой переменной — для восстановления движения маятника (т. е. ). Таким образом. принимается следующая структура наблюдателя:

Здесь необходимо определить коэффициенты усиления Легко найти, что при структуре (5.37) характеристический полином наблюдателя определяется выражением

Видно, что одна пара полюсов определяет скорость восстановления движения тележки, а другая — маятника. Выберем теперь коэффициенты таким образом, чтобы обе пары полюсов находились от начала координат несколько дальше полюсов регулятора, полученных выше. Однако выбирать полюса наблюдателя очень удаленными нецелесообразно, так как получающиеся при этом большие коэффициенты усиления наблюдателя значительно затрудняют их реализацию без существенного улучшения характеристик системы управления. Таким образом, выбираем обе пары полюсов наблюдателя равными

Расстояние от этих полюсов до начала координат составляет

При численных значениях из примера 1.1 можно найти, что для реализации этих полюсов наблюдателя необходимо выбрать

На рис. 5.5 также показаны характеристики объединенной системы, включающей наблюдатель, закон управления и систему управления положением маятника, в одних и тех же начальных условиях, как и ранее, Оценка перемещения тележки на рисунке не показана, так как совпадает с фактическим перемещением тележки с самого начала благодаря особому выбору начальных условий. Видно, что оценка перемещения маятника весьма быстро совмещается с точной величиной. Тем не менее из-за небольшого запаздывания во времени в процессе восстановления движение системы балансирования маятника с обратной связью по выходной переменной является более искаженным, чем в случае обратной связи по состоянию. С точки зрения практики эта система управления может оказаться неприемлемой, так как рассматриваемое движение сильно искажено и система иыходит из диапазона, в котором справедлива линеаризация; весьма возможно, что маятник будет опрокидываться. Решение можно искать в уменьшении с целью демпфирования движения системы. Альтернативное решение состоит в увеличении быстродействия наблюдателя, однако это может вызвать трудности, связанные с шумом в системе.