Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
5.2. Регулирование линейной системы при неполных измерениях5.2.1. СТРУКТУРА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙВ этом разделе излагается детерминированный подход к задаче регулирования линейной системы при неполных измерениях. Рассмотрим систему, описываемую дифференциальным уравнением состояния
Наблюдаемая переменная определяется выражением
В гл. 3 рассматривались законы управления вида
для которых предполагалось, что можно точно измерить полное состояние
а затем использовать закон управления применительно к восстановленному состоянию
где
Это приводит к упрощенной структуре, представленной на рис. 5.2. Замкнутая система, получаемая в результате соединения объекта с регулятором, представляет собой линейную систему размерности (кликните для просмотра скана) (кликните для просмотра скана)
Проанализируем теперь свойства устойчивости замкнутой системы. С этой целью рассмотрим состояние
Вычитая (5.6) из уравнения (5.3), с помощью (5.4) легко установить, что ошибка
Подстановка
Анализ уравнения (5.11) показывает, что ошибка Рассмотрим далее уравнение (5.12). Если матрицы
асимптотически устойчива. Из гл. 3 известно, что матрицу Наконец, отметим следующее. Объединяя уравнения (5.11) и (5.12), получим
Рассмотрим случай системы с постоянными параметрами, где все матрицы, входящие в уравнение (5.14), постоянны. Тогда характеристические числа системы (5.14), которые также являются характеристическими числами системы (5.9), одновременно представляют собой нули выражения
Причина, по которой системы (5.9) и (5.14) имеют одинаковые характеристические числа, сострит в том, что их соответствующие векторы состояния связаны несингулярным линейным преобразованием (разд. 1.3). Следовательно, множество характеристических чисел замкнутой системы образует характеристические числа матрицы Теорема 5.1. Рассмотрим взаимосвязь системы с постоянными параметрами
наблюдателя с постоянными параметрами
и закона управления с постоянной настройкой
Тогда характеристические числа объединенной системы состоят из полюсов регулятора (характеристические числа матрицы Эти результаты показывают, что можно раздельно рассматривать задачи определения асимптотически устойчивого наблюдателя и асимптотически устойчивого закона с обратной связью по состоянию, так как их взаимосвязь приводит к асимптотически устойчивой системе управления. Однако возникает вопрос, можно ли, исходя из соображений. устойчивости, раздельно производить построение наблюдателя и закона управления. В разд. 5.3 дана постановка задачи стохастического оптимального регулирования. Решение этого стохастического варианта звдачи приводит к утвердительному ответу на только что поставленный вопрос. Выше рассматривался только наблюдатель полного порядка. Можно показать, что наблюдатели пониженного порядка, объединенные с законами управления с обратной связью по состоянию, также приводят к полюсам замкнутой системы, которые состоят из полюсов наблюдателя и полюсов регулятора. Пример 5.1. Система управления положением Рассмотрим систему управления положением, описываемую дифференциальным уравнением состояния (см. пример 2.1, разд. 2.2.2, и пример 2.4, разд. 2.3)
с
Закон управления
дает характеристический полином регулятора
Выбирая значения
разместим полюса в точках
в котором
Рис. 5.3. Реакция и входная переменная в системе управления положением с наблюдателем при
Рис. 5.4. Реакция и входная переменная в системе управления положением с обратной связью по состоянию (без наблюдателя) при является наблюдаемой переменной. Характеристический полином наблюдателя имеет вид
Чтобы повысить быстродействие наблюдателя в сравнении с регулятором, разместим полюса наблюдателя в точках
На рис. 5.3 показана реакция системы управления с. обратной связью по выходной переменной на начальное состояние Для сравнения на рис. 5.4 представлена реакция соответствующей системы с обратной связью по состоянию, в которой закон управления (5.21) непосредственно связан с состоянием. Отметим, что в системе с наблюдателем наблюдатель весьма быстро восстанавливает фактическое поведение состояния. Однако из-за небольшого запаздывания по времени, вносимого наблюдателем, требуется большее входное воздействие, а реакция несколько отличается от реакции системы без наблюдателя. Пример 5.2. Система управления положениемаятника В этом примере рассматривается система управления положением из примера 1.1 (разд. 1.2.3). Дифференциальное уравнение этой системы имеет вид
Компонентами состояния являются
Здесь
Основной задачей в рассматриваемой системе управления является стабилизация положения. Поэтому примем в качестве управляемой переменной положение маятника
Сначала выберем полюса регулятора, решая задачу регулирования с использованием критерия
Выберем величину Чтобы вычислить
Из (3.486) следует
При численных значениях из примера 1.1 можно найти, что необходимо выбрать
чтобы получить угловую скорость
а полюса замкнутой системы равны (кликните для просмотра скана) равно —100 Н, перемещение тележки составляет Предполагая, что эти характеристики приемлемы, перейдем теперь к определению наблюдателя для системы. Поскольку имеются две наблюдаемые переменные, для реализации заданного размещения полюсов наблюдателя матрицу коэффициентов усиления наблюдателя можно выбирать более или менее произвольно. Чтобы унростить задачу, введем ограничение, состоящее в том, что первая компонента наблюдаемой переменной (перемещение) используется только для восстановления состояния тележки (т. е.
Здесь необходимо определить коэффициенты усиления
Видно, что одна пара полюсов определяет скорость восстановления движения тележки, а другая — маятника. Выберем теперь коэффициенты
Расстояние от этих полюсов до начала координат составляет
На рис. 5.5 также показаны характеристики объединенной системы, включающей наблюдатель, закон управления и систему управления положением маятника, в одних и тех же начальных условиях, как и ранее,
|
1 |
Оглавление
|