1.3.4. ЖОРДАНОВА ФОРМА

В предыдущем разделе показано, что нахождение переходной матрицы может быть упрощено использованием диагонализации матрицы А. Эта диагонализация невозможна, если -матрица А не имеет линейно независимых собственных векторов. И этом случае, однако, можно привести матрицу А к так называемой канонической форме Жордана, которая является квазидиагональной и из которой можно легко получить переходную матрицу.

Сначала вспомним некоторые положения линейной алгебры. Мели М — матрица, то нуль-пространство М определяется как множество

где — n-мерное комплексное векторное пространство. Далее,

если два линейных подпространства -мерного пространства, то говорят, что линейное пространство

является прямой суммой если любой вектор может быть записан только единственным образом, как где

В связи с этим имеем следующий результат [190].

Теорема 1.8. Положим, что -матрица А имеет k различных характеристических чисел Пусть — кратность каждого характеристического числа в характеристическом полинож матрицы А. Определим

и положим

Тогда

а) размерность линейного подпространства равна ;

б) полное n-мерное комплексное пространство является прямой суммой нуль-пространств т. е.

Если матрица А имеет различных характеристических чисел, то нуль-пространства трансформируются в одномерные подпространства, каждое из которых порождается собственным вектором матрицы А.

Имеем следующий результат [133].

Теорема 1.9. Рассмотрим матрицу со свойствами, указанными в теореме 1.8. Тогда всегда можно найти неособую матрицу преобразования Т

для которой

Блок имеет размерность и каждому блоку соответствует своя матрица . Столбцы матрицы образуют специально выбранный базис для нуль-пространств . Блоки могут быть представлены следующим образом.

где каждый подблок имеет форму

Матрица называется жордановой нормальной формой матрицы А.

Выражение (1.96) дает практический метод вычисления матрицы преобразования [133]. Из этого выражения следует

Обозпачим столбцы матрицы Т как Тогда из формы матрицы с учетом (1.100) получим

где принимает значение 0 или 1 в зависимости от характеристическое число матрицы А. Пусть разбиение блока матрицы Т, соответствующее разбиению (1.98) блока имеет Тогда число равно нулю, когда соответствующий столбец матрицы Т является первым столбцом подблока. Так как при 0 вектор является собственным вектором матрицы А, очевидно, что можно найти первые столбцы каждого подблока как собственные векторы матрицы А. Оставшиеся столбцы каждого подблока тогда получаются из (1.101) при Такие оставшиеся столбцы известны как обобщенные собственные векторы. Этот процесс останавливается, когда (1.101) не обеспечивает получения решения. Пример 1.5 в конце данного раздела иллюстрирует эту процедуру.

Если матрица А представлена в жордановой нормальной форме, нетрудно пайти экспоненциал матрицы А.

Тоирема 1.10. Рассмотрим матрицу А со свойствами, указанными теоремах 1.8 и 1.9. Тогда

где — размерность матрицы

Из этой теоремы следует, что реакция системы

может содержать кроме чисто экспоненциальных членов вида также члены вида

По аналогии с результатом из разд. 1.3.3 справедливо следующее утверждение [190].

Теорема 1.11. Рассмотрим линейную систему с постоянными параметрами

Выразим начальное состояние

Напишем

где разбиение соответствует разбиению матрицы Т в теореме 1.9. Тогда реакция системы может быть выражена как

Ил этой теоремы следует, что, если начальное состояние принадлежит одному из нуль-пространств характер движения системы из этого начального состояния полностью определяется соответствующим характеристическим числом. По аналогии с простым случаем из разд. 1.3.3 назовем движение системы из любого начального состояния, принадлежащего одному из нуль-пространств, модой системы.

Пример 1.5. Перевернутый маятник

Рассмотрим перевернутый маятник из примера 1.1 в предположении, что трением тележки можно пренебречь, так что Однородное уравнение, соответствующее линеаризованному дифференциальному уравнению состояния, теперь имеет вид где

Характеристические числа матрицы А равны

Нетрудно найти, что существует только один собственный вектор

соответствующий двукратному характеристическому числу 0.

Числам соответствуют собственные векторы

Так как характеристические числа и являются единственными, то соответствующие нуль-пространства имеют размерность, равную единице, и порождаются собственными векторами. Поскольку нуль представляет собой двукратное характеристическое число, соответствующее нуль-пространство является двумерным. Имеет место лишь один подблок в жордановой форме размерами поскольку не существует двух линейно независимых собственных векторов. Пусть характеристический вектор (1.113) является первым столбцом матрицы преобразования Т. Тогда иторой столбец должен определяться из уравнения

Нетрудно найти, что общее решение этого уравнения имеет вид

где Р — произвольная константа. Примем Поскольку должны быть собственными векторами (1.114), найдем матрицу преобразования Т

Соответствующая жордавова нормальная форма матрицы А имеет вид

Экспоненциал матрицы А нетрудно найти из уравнений (1.102), (1.117) и (1.118).