4.4.3. УСТАНОВИВШИЕСЯ СВОЙСТВА ОПТИМАЛЬНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ

Теорема 4.8 позволяет перенести из задачи регулирования в задачу наблюдения свойства в установившемся состоянии (теорема 3.5, разд. 3.4.2), свойства устойчивости в установившемся состоянии (теорема 3.6, разд. 3.4.2) и различные результаты для случая системы с постоянными параметрами (теорема 3.7, разд. 3.4.3, и теорема 3.8, разд. 3.4.4).

Ниже определяются некоторые наиболее важные свойства в установившемся состоянии и свойства устойчивости. Теорема 3.5 об установившемся поведении решения уравнения Риккати может быть сформулирована следующим образом [90].

Теорема 4.9. Рассмотрим матричное уравнение Риккати

Предположим, что матрица является непрерывной и ограниченной, — кусочно-непрерывные и ограниченные матрицы; кроме того,

где — положительные константы.

1) Тогда, если система

является

а) полностью восстанавливаемой или

б) экспоненциально устойчивой,

то решение уравнения Риккати (4.235) с начальным условием сходится к неотрицательно определенной матрице при . Матрица является решением уравнения Риккати (4.235).

2) Кроме того, если система (4.237) является

в) одновременно равномерно полностью восстанавливаемой и равномерно полностью управляемой или

г) экспоненциально устойчивой,

то решение уравнения Риккати (4.235) с начальным условием сходится к при для любого .

Доказательство этой теоремы получается путем непосредственного использования свойств дуальности из теоремы 4.8 в теореме 3.5 с учетом того, что если система является полностью восстанавливаемой, то дуальная система является полностью управляемой (теорема 1.41, разд. 1.8) и что если система является экспоненциально устойчивой, то дуальная система также экспоненциально устойчива (теорема 1.42, разд. 1.8).

Сформулируем теорему, дуальную теореме 3.6 (разд. 3.4.2).

Теорема 4.10. Рассмотрим несингулярную систему оптимального наблюдения с некоррелированными шумом, возбуждающим состояние, и шумом наблюдений, и пусть

где для всех Предположим, что условия непрерывности, ограниченности и положительной определенности в теореме 4.9, касающиеся матриц , удовлетворяются. Тогда, если система (4.237)

а) равномерно полностью восстанавливаема и равномерно полностью управляема или

б) экспоненциально устойчива, то имеет место следующее.

1) Установившийся оптимальный наблюдатель

где

экспоненциально устойчив. Здесь определяется так же, как в теореме 4.9.

2) Коэффициент усиления установившегося оптимального наблюдателя минимизирует

для всех Минимальная величина предела (4.241), которая достигается установившимся оптимальным наблюдателем, определяется выражением

Сформулируем также теорему, дуальную теореме 3.7 (разд. 3.4.3), которая относится к системам с постоянными параметрами.

Теорема 4.11. Рассмотрим несингулярную задачу оптимального наблюдения при постоянных параметрах в соответствии с определением 4.3 при некоррелированный шуме, возбуждающем состояние, и шуме наблюдений для системы

Здесь — белый шум с интенсивностью — шум с интенсивностью . Предполагается, что Соответствующее уравнение Риккати имеет вид

с начальным условием

а) Примем, что . В этом случае при решение уравнения Риккати достигает постоянной установившейся величины Q тогда и только тогда, когда система (4.243) не имеет полюсов, которые одновременно были бы полюсами неустойчивости, невосстанавливаемости и управляемости.

б) Если система (4.243) является одновременно обнаруживаемой и стабилизируемой, то решение уравнения Риккати достигает величины Q при для всех

в) Если Q существует, то эта величина является неотрицательно определенным симметрическим решением алгебраического уравнения Риккати

Если система (4.243) является обнаруживаемой и стабилизируемой, то Q представляет собой единственное неотрицательно определенное решение алгебраического уравнения Риккати.

г) Если Q существует, то эта величина является положительно определенной тогда и только тогда, когда система является полностью управляемой.

д) Если Q существует, то установившийся оптимальный наблюдатель

где

асимптотически устойчив тогда и только тогда, когда система является обнаруживаемой и стабилизируемой.

е) Если система является обнаруживаемой и стабилизируемой, то установившийся оптимальный наблюдатель (4.247) минимизирует предел

при всех . Для установившегося оптимального наблюдателя предел (4.249) определяется выражением

Отметим, что условия (б), (в) являются необходимыми, но не достаточными.