5.3.3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРИНЦИПА РАЗДЕЛЕНИЯ

Ниже будет доказан принцип разделения, сформулированный в теореме 5.3 для несингулярного некоррелированного случая, т. е. когда предполагается, что интенсивность шума наблюдений является положительно определенной и на интервале Относительно просто доказать, что данное решение является наилучшим линейным решением задачи построения стохастического линейного регулятора с обратной связью по выходной переменной. Обозначая

папигаем

Здесь — линейная оценка с минимальным средним значением квадрата ошибки, использующая Из теории оптимального наблюдения известно,

где — матрица дисперсии ошибки восстаповления Кроме того,

так как из разд. 5.3.2 следует, что величины некоррелированы.

Таким образом, можно написать

Используя соотношение (5.111), напишем для критерия (5.48)

Заметим, что два последних члена в этом выражении не зависят от управления на входе системы. Кроме того, из теории оптимального наблюдения известно, что можпо написать (так как по предположению задача восстановления является несингулярной)

где — оптимальная матрица усиления. Однако в разд. 4.3.6 было установлено, что процесс обновления является белым шумом с интенсивностью Тогда задача минимизации критерия (5.112), в которой описывается уравнением (5.113), является задачей стохастического линейного регулирование, где можпо наблюдать полный вектор состояния, как описывалось в разд. 3.6.1. Из теоремы 3.9 следует, что оптимальным линейным решением задачи построения стохастического регулятора с обратной связью по состоянию является линейный закон управления

где определяется выражением (5.51).

Тем самым завершается доказательство теоремы 5.3 для случая, когда задача восстановления является несингулярной, а шум, возбуждающий состояние в системе, и шум наблюдений некоррелировать Доказательство можно распространить на случай сингулярной задачи с коррелированными шумами.