2.5. Анализ точности слежения в установившемся режиме

2.5.1. УСТАНОВИВШИЕСЯ СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ КВАДРАТОВ ОШИБКИ СЛЕЖЕНИЯ И ВХОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

В разд. 2.3 были введены среднее значение квадрата ошибки слежения и среднее значение квадрата входной переменной Из уравнений системы управления (2.13) и (2.14) можно видеть, что все три процесса т. е. эталонная переменная, возмущающая переменная и шум наблюдений, оказывают влияние на . С этого момента до конца главы предположим, что — статистически некоррелированные стохастические процессы, так что их влияние на может быть изучено по отдельности. В настоящем и последующем разделах рассматривается влияние эталонной переменной отдельно на Влияние возмущений и шума наблюдений исследуется в последующих разделах.

Разделим продолжительность процесса управления на два периода: переходный и установившийся. Эти два периода могут быть охарактеризованы следующим образом. Переходный период начинается с началом процесса и оканчивается, когда интересующие нас величины (обычно средние значения квадрата ошибки слежения и входной переменной) Приблизительно достигают своих установившихся значений. С этого времени обычно говорят, что процесс находится в установившемся состояний. Предполагается, конечно, что интересующие величины стремятся с течением времени к определенному пределу. Продолжительность переходного периода называется временем, установления.

При проектировании систем управления должны приниматься во внимание характеристики системы как в переходном, так и в установившемся периодах. Настоящий раздел посвящается анализу свойств следящих систем в установившемся режиме. В следующем разделе рассматривается анализ переходных процессов. Для данного и следующего разделов делаются следующие допущения:

1. Принцип проектирования 2.1 удовлетворяется, т. е. система управления асимптотически устойчивая.

2. Система управления имеет постоянные параметры, а весовые матрицы постоянные.

3. Возмущение и шум наблюдений равны нулю.

4. Эталонная переменная может быть представлена в виде

где стохастический вектор, стационарный в широком смысле и при этом некоррелированный с векторный стохастический процесс с нулевым средним.

Здесь стохастический вектор является постоянной частью эталонной переменной и фактически представляет собой заданную точку управляемой переменной. Процесс с нулевым средним является переменной частью эталонной переменной. Предположим, что матрица моментов второго порядка вектора задана в виде

а переменная часть имеет матрицу спектральной плотности энергии

При установленных допущениях среднее значение квадрата ошибки слежения и среднее значение квадрата входной переменной при увеличении t сходятся к постоянным величинам. Тогда определим

как установившееся среднее значение квадрата ошибки слежения, а

как установившееся среднее значение квадрата входной переменной.

Для вычисления Сесо и Сиоо обозначим через передаточную функцию замкнутой системы управления, т. е. матричную передаточную функцию от эталонной переменной до управляемой переменной Далее обозначим через матричную передаточную функцию замкнутой системы от эталонной переменной до входной переменной .

Чтобы найти выражения для установившихся средних значений квадратов ошибки слежения и входной переменной, рассмотрим отдельно составляющие, обусловленные постоянной частью и переменной частью эталонной переменной.

Постоянная часть эталонной переменной приводит к установившимся значениям управляемой и входной переменной, определяемым соответственно выражениями

и

Соответствующие части средних значений квадратов ошибки слежения и входной переменной равны

и

Отсюда следует, что составляющие от постоянной части эталонной переменной в общей величине установившихся средних значений квадратов ошибки слежения и входной переменной соответственно равны

Составляющие от переменной части эталонной переменной в общей величине установившихся средних значений квадратов ошибки слежения и входной переменной могут быть легко определены при использовании результатов разд. 1.10.3 и 1.10.4. Установившееся среднее значение квадрата ошибки слежения оказывается равным

а установившееся среднее значение квадрата входной переменной принимает вид

Эти формулы служат отправной точкой для формулирования принципов проектирования. Следующий раздел ограничивается рассмотрением случая единственной входпой и и единственной выходной z переменных, т. е. случая, когда и входная, и управляемая переменные являются скалярными, а интерпретация формул (2.58) и (2.59) становится очевидной. В разд. 2.5.3 рассматривается более общий многомерный случай.

В заключение получим выражения для в терминах различных матричных передаточных функций объекта и регулятора. Обозначим через матричную передаточную функцию объекта (2.6) — (2.8) (в предположении постоянства параметров) от входной переменной и до управляемой переменной а передаточную функцию от входной переменной и до наблюдаемой

Рис. 2.14. Блок-схема линейной замкнутой системы управления с постоянными параметрами.

переменной у — через Обозначим, кроме того, матричную передаточную функцию регулятора (2.9), (2.10) (также с постоянными параметрами) от эталонной переменной до и через а матричную передаточную функцию от наблюдаемой переменной у до через Таким образом, имеем

Из блок-схемы, представленной на рис. 2.14, можно определить соотношения между некоторыми переменными системы в терминах матричных передаточных функций. Отсюда видно, что, если является преобразованием Лапласа функции справедливы следующие соотношения в терминах преобразований Лапласа:

Исключая некоторые переменные, имеем

где

Выражения связаны соотношением