3.8.3. МАКСИМАЛЬНО ДОСТИЖИМАЯ ТОЧНОСТЬ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ И СЛЕДЯЩИХ СИСТЕМ

В этом разделе исследовано установившееся решение уравнения Риккати при стремящемся к нулю в выражении

Интерес к этому асимптотическому решению объясняется тем, что оно позволяет оценить максимально достижимую точность систем регулирования и слежения при отсутствии ограничений на амплитуду входного воздействия. Данный раздел построен следующим образом. Сначала формулируются основные результаты в форме теоремы. Доказательство этой теоремы [106], которое является весьма трудоемким, опущено. Остальная часть раздела посвящена обсуждению результатов и примерам.

Сформулируем сначала основные результаты.

Теорема 3.14. Рассмотрим стабилизируемую и обнаруживаемую линейную систему с постоянными параметрами

в которой по предположению матрицы В и имеют полный ранг. Рассмотрим также критерий

где . Пусть

где положительный скаляр, и пусть установившееся решение уравнения Риккати:

Тогда имеет место следующее:

а) Существует предел

б) Пусть обозначает реакцию по управляемой переменной в регуляторе, который является оптимальным в установившемся состоянии при Тогда

г) Если и полином числителя передаточной функции разомкнутой системы равен нулю, то тогда и только тогда, когда имеет нули только с неположительными вещественными частями.

д) Если имеет место неравенство то достаточное условие равенства нулю состоит в том, что должна существовать такая прямоугольная матрица М, при которой полином числителя квадратной передаточной матрицы не равен нулю и имеет нули только с неположительными вещественными частями.

Ниже обсуждаются различные части теоремы. Из следует, что если уменьшать весовой коэффициент для входного воздействия, то критерий

достигает предела Если отождествить то выражение (3.576) можно переписать в форме

где — взвешенная квадратическая ошибка регулирования, — взвешенная квадратическая величина входного воздействия. Из п. (б) теоремы следует,

что при первый двух членов в выражении (3.577) полностью определяет интегральную квадратическую ошибку регулирования, так что в пределе интегральная квадратическая ошибка регулирования определяется выражением

Если весовой коэффициент равен нулю, то затраты не ограничиваются в том смысле, что на амплитуду входного воздействия не накладывается ограничений. Ясно, что при этом условии достигается наибольшая точность регулирования, т. е. интегральная квадратическая ошибка регулирования является наименьшей из всех возможных.

В пп. (в), (г), (д) теоремы формулируются условия, при которых Это означает, что достигается точное регулирование, так как

Пункт теоремы устанавливает, что если размерность управляемой переменной больше, чем входной переменной, то точное регулирование невозможно. Это вполне естественно, так как в таком случае число степеней свободы для управления слишком мало. Чтобы определить максимально достижимую точность, необходимо вычислить Некоторые соображения по поводу того, как это можно сделать, приведены в разд. 4.4.4.

В п. (г) теоремы рассматривается случай, когда число степеней свободы достаточно, т. е. входная и управляемая переменные имеют одинаковые размерности. Здесь максимально достижимая точность зависит от свойств передаточной матрицы разомкнутой системы. Точное регулирование возможно лишь тогда, когда полином числителя передаточной матрицы не имеет нулей в правой полуплоскости [в предположении, что полином неравен тождественно нулю]. Это можно показать интуитивно следующим образом. Предположим, что в момедт времени 0 система находится в начальном состоянии Тогда, используя преобразование Лапласа, можно описать реакцию по управляемой переменной выражением

где — преобразования Лапласа для z и u соответственно. Можно сделать тождественно равным нулю, если выбрать

Входная переменная в общем случае содержит дельтафункции и производные дельта-функций в момент времени 0. Эти дельта-функции мгновенно переводят систему из состояния в момент 0 в состояние для которого причем можно сделать равным 0 при Заметим, что в общем случае состояние претерпевает воздействие дельта-функции и их производных в момент времени 0, тогда как движется от в 0 без отклонений, как это можно увидеть, если подставить выражение (3.581) в (3.580).

Выражению (3.581) соответствует устойчивое поведение вход ной переменной, если устойчива обратная передаточная матрица , т. е. полипом числителя матрицы не имеет нулей в правой полуплоскости. Причина, по которой входное воздействие (3.581) нельзя использовать в том случае, когда имеет неустойчивые полюса, состоит в том, что, хотя входное воздействие (3.581) приводит управляемую переменную к нулю и поддерживает ее равной нулю, само входное воздействие возрастает безгранично [110]. В данной постановке задачи такие входные воздействия исключены, поэтому в рассматриваемом случае выражение (3.581) не является предельным входным воздействием при и в действительности регулирование без затрат может быть достигнуто.

Наконец, из теоремы следует, что при имеем если этот случай можно упростить до случая, соответствующего теоремы, заменяя входную переменную и на и:

Однако существование такой матрицы М не является необходимым условием для равенства нулю

В теореме 3.14 развиваются некоторые результаты разд. 3.8.2. Установлено, что для систем с одним входом и одним выходом без нулей в правой половине комплексной плоскости реакция управляемой переменной на ступенчатое воздействие в заданной точке асимптотически полностью определяется удаленными полюсами замкнутой системы, а не близко расположенными полюсами. Причина состоит в том, что ближние полюса компенсируются нулями системы. Теорема 3.14 приводит к более общим выводам.

Эта теорема устанавливает, что для многомерных систем без нулей в правой половине комплексной плоскости интегральная квадратическая Ошибка регулирования асимптотически стремится к нулю. Это означает, что при небольших значениях реакция управляемой переменной в замкнутой системе на любое начальное условие в системе имеет высокую скорость, откуда следует, что эта реакция определяется только удаленными полюсами замкнутой системы. Поэтому в таком случае влияние близко

расположенных полюсов компенсируется нулями. Медленное движение, соответствующее ближним полюсам, конечно, проявляется в реакции входной переменной, и в общем случае можно ожидать, что входная переменная имеет много большее время переходного процесса, чем управляемая переменная. Для иллюстрации сошлемся на примеры.

Из теории следует, что в оптимальных системах регулирования могут быть «скрытые режимы» (моды), которые отсутствуют в управляемой переменной, но возникают в переменных состояния и входной переменной. Эти режимы могут нарушить работу системы.

Из теории также следует, что системы с нулями в правой полуплоскости принципиально ограничены в возможностях регулирования, поскольку зеркальные отражения нулей в правой полуплоскости проявляются как ближние полюса замкнутой системы, которые не компенсируются нулями. Однако если эти нули в правой полуплоскости удалить от начала координат, то их вредное влияние можно уменьшить.

Необходимо отметить, что идеальная точность никогда не может быть достигнута, так как это предполагает бесконечно большие коэффициенты усиления обратной связи и амплитуды входного воздействия. Однако результаты этого раздела дают представление об идеальных характеристиках системы. В действительности эти характеристики не могут быть аппроксимированы из-за ограничений на амплитуды входного воздействия.

До этого были рассмотрены только задачи детерминирот ванного регулирования. Рассмотрим теперь стохастическую задачу регулирования, которая включает задачу слежения. Из разд. 3.6 следует, что для стохастической задачи регулирования

где — установившееся среднее значение квадрата ошибки регулирования и установившееся среднее значение квадрата входного воздействия соответственно. Из этого выражения непосредственно следует

Нетрудно доказать аналогично доказательству п, (б) теоремы 3.14, что первый член в выражении (3.584) полностью определяет величину левой части, так что

Это означает, что точное стохастическое регулирование достигается при таких же условиях, как и точное детерминированное регулирование. Кроме того, легко проверить, что для

регулятора с возмущепиями, не являющимися белым шумом (разд. 3.6.1), и стохастической задачи слежения (разд. 3.6.2) точное регулирование или слежение соответственно достигается тогда и только тогда, когда передаточная матрица объекта удовлетворяет условиям, указанным в теореме 3.14. Из этого следует, что максимально достижимую точность определяет объект, а не характеристики возмущений или эталонной переменной.

В заключение отметим, что теорема 3.14 не дает решения для случая, в котором полином числителя тождественно равен нулю. Однако такой случай встречается редко.

Пример 3.24. Управление продольным движением самолета

В качестве примера многомерной системы рассмотрим управление продольным движением самолета, описанного в примере 3.21. Для в примере 3.21 было найдено, что полюса замкнутой системы равны Первый из этих полюсов практически совпадает с нулем разомкнутой системы

На рис. 3.30 показана реакция замкнутой системы на начальное отклонение по скорости и вдоль оси и на начальное отклонение по углу тангажа 0. Видно, что реакция по скорости вдоль оси х определяется в основном постоянной времени которая соответствует полюсу —4,283. Реакция по углу тангажа определяется размещением Баттерворса Медленное движение с постоянной времени , которая соответствует полюсу —1,003, оказывает некоторое влияние на реакцию по скорости вдоль оси IV.

Отметим, что в управляемой системе имеется весьма малое взаимовлияние в том смысле, что восстановление скорости по оси х не проявляется в заметном отклонении по углу тангажа и наоборот.

Наконец, необходимо отметить, что величина является удобной с практической точки зрения, поскольку она требует очень большого изменения тяги двигателя и угла отклонения руля высоты. Кроме того, двигатель не может отслеживать быстрые изменения тяги, определяемые законом управления. При дальнейшем исследовании необходимо учитывать динамику двигателя.

Пример подтверждает, однако, что, поскольку объект не имеет нулей в правой полуплоскости, можно получить произвольно большое быстродействие, и близко расположенный полюс, соответстг вующий нулю разомкнутой системы, не влияет на реакцию управляемой переменной.

Пример 3.25. Система с нулем в правой полуплоскости

В примере 3.23 было показано, что система, описываемая

(кликните для просмотра скана)

Рис. 3.31. Структура линейной системы управления с обратной связью и постоянными параметрами.

уравнениями (3.558) и (3.559), с передаточной функцией разомкнутого контура

имеет следующее установившееся решение уравнения Риккати:

При стремящемся к нулю, Р приближается к где

Как было показано в примере 3.23, в пределе реакция определяется полюсом замкнутой системы, равным —1.