1.8. Дуальность линейных систем
При изучении свойств управляемости и восстанавливаемости нетрудно было заметить симметрию свойств, которую можно исследовать более полно, использовав принцип дуальности (двойственности) [86, 92].
Определение 1.23. Рассмотрим линейную систему с переменными параметрами
а также систему
где t — произвольный фиксированный момент. Система (1.399) называется дуальной системе (1.398) относительно момента 
Цель введения дуальных систем становится очевидной в гл. 4, где обсуждается дуальность задач линейного оптимального управления и задач линейного оптимального наблюдения. В связи с этим имеем следующий результат.
Теорема 1.40. Система, дуальная системе (1.399) относительно момента 
является исходной системой (1.398).
Существует тесная связь между восстанавливаемостью и управляемостью исходной и дуальной систем.
Теорема 1.41. Рассмотрим систему (1.398) и дуальную ей систему (1.399), где время 
произвольное.
а) Система (1.398) является (равномерно) полностью управляемой в том и только том случае, если дуальная система (равномерно 
полностью восстанавливаемая.
б) Система (1.398) является (равномерно) полностью восстанавливаемой в том и только том случае, если дуальная система (равномерно) полностью управляемая.
в) Предположим, что система (1.398) имеет постоянные параметры. Тогда система (1.398) является стабилизируемой в том и только том случае, если дуальная система обнаруживаемая.
г) Предположим, что система (1.398) имеет постоянные параметры. Тогда она является обнаруживаемой, если дуальная система стабилизируемая.
Приведем доказательство только для систем с постоянными параметрами. Матрица восстанавливаемости дуальной системы имеет вид
где Р — матрица управляемости исходной системы. Это сразу доказывает утверждение (а).
Утверждение (б) теоремы доказывается подобным же образом. Матрица управляемости, дуальной системы определяется выражением
где 
матрица восстанавливаемости исходной системы. Отсюда следует справедливость утверждения (б).
Утверждение (в) может быть доказано следующим образом. Исходная сйстема с помощью преобразования 
согласно теореме 1.26 (разд. 1.6.3), может быть приведена к канонической форме управляемости
Если система (1.398) стабилизируема, то пара 
является полностью управляемой, а 
устойчивой. Система, дуальная преобразованной системе, имеет вид
Поскольку пара 
является полностью управляемой, пара 
полностью восстанавливаемая [утверждение 
. Поскольку матрица 
является устойчивой, 
также устойчивая. Отсюда следует, что система (1.403) обнаруживаемая.
С. помощью преобразования 
(см. задачу 1.12.8) система (1.403) преобразуется в дуальную систему по отношению к исходной. Следовательно, поскольку система (1.403) обнаруживаемая, система, дуальная исходной, также является обнаруживаемой. Повторяя основные шаги доказательства, нетрудно доказать теорему, обратную теореме 1.41 (в). Утверждение 
может быть доказано аналогичным способом. Доказательство утверждений (а) и (б) для случая систем с переменными параметрами оставляем читателю в качестве упражнения.
Завершим этот раздел установлением следующего результата, относящегося к устойчивости исходной и дуальной систем.
Теорема 1.42. Система (1.398) является экспоненциально устойчивой в том и только том случае, если дуальная система (1.399) экспоненциалъно устойчивая.
Этот результат нетрудно доказать, сначала удостоверившись, что дуальная система имеет переходную матрицу 
если система (1.398) имеет переходную матрицу 
а затем используя определение 1.5 (разд. 1.4.1).
