3.6.3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СИНТЕЗА СТОХАСТИЧЕСКОГО ЛИНЕЙНОГО ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА

В разд. 3.6.1 была поставлена задача синтеза стохастического линейного оптимального регулятора. Эта задача (определение 3.4) существенно отличается от детерминированной задачи регулирования, поскольку из-за белого шума невозможно точно предсказать поведение системы. Поэтому, очевидно, лучше не определять априорно входное воздействие для всего периода управления , а последовательно анализировать ситуацию в каждый промежуточный момент времени t на основе всей располагаемой информации.

В момент времени t дальнейшее поведение системы полностью определяется текущим состоянием входным воздействием при и белым шумом при . Вся информация из прошлого, которая относится к будущему, содержится в состоянии . В связи с этим рассмотрим закон управления вида

который определяет входное воздействие для всех возможных состояний в моменты

Использование таких законов управления предполагает, что все компоненты вектора состояния можно точно измерить в любой момент времени. Как указывалось выше, такое предположение является нереальным, тем более в стохастическом случае, когда вектор состояния может включать компоненты, описывающие возмущения или эталонную переменную. Маловероятно, что эти компоненты можно легко измерить. Преодоление этой трудности будет рассмотрено позднее, после гл. 4, в которой исследуются вопросы восстановления состояния по неполным и неточным измерениям.

В предыдущих разделах было получено решение детерминированной задачи регулирования в форме обратной связи (3.343). Для стохастического варианта задачи получен неожиданный результат, состоящий в том, что присутствие белого шума в уравнении (3.316) не изменяет решения, за исключением увеличения минимальной величины критерия. Сформулируем сначала этот результат, а затем рассмотрим доказательство.

Теорема 3.9. Оптимальное линейное решение задачи построения стохастического линейного оптимального регулятора состоит в выборе входного воздействия в соответствии с линейным законом управления

где

Здесь — решение матричного уравнения Риккати

с конечным условием

Как и обычно; использовано обозначение

Минимальная величина критерия определяется выражением

Отметим, что эта теорема дает только наилучшее линейное решение стохастической задачи регулирования. Поскольку мы ограничиваемся рассмотрением линейных систем, это вполне удовлетворительно. Однако можно доказать, что линейный закон с обратной связью является оптимальным, если белый шум является гауссовским [6, 102, 103].

Для доказательства теоремы предположим, что система управляется с помощью линейного закона

Тогда замкнутая система описывается дифференциальным уравнением

и для критерия (3.320) можно написать

Из теоремы 1.54 (разд. 1.11.5) следует, что критерий можно выразить в виде

где — решение матричного дифференциального уравнения

с конечным, условием

Лемма 3.1 (разд. 3.3.3) устанавливает, что удовлетворяет условию

для всех где решение уравнения Риккати (3.346) с конечным условием (3.347). Неравенство (3.356) преобразуется в равенство, если выбирается в виде

Из неравенства (3.356) следует

для любой неотрицательно определенной матрицы Г. Видно, что критерий (3.353) минимизируется путем выбора в соответствии с (3.357). Для такого выбора критерий (3.353) задается в форме (3.349). Тем самым завершается доказательство того, что закон управления (3.345) является оптимальным линейным законом управления.

Теорема 3.9 позволяет решать различные типы задач. В разд. 3.6.1 и 3.6.2 было показано, что стохастическая задача линейного оптимального регулирования может возникать в регулируемых системах с возмущениями и в задачах оптимального слежения. В обоих случаях задача имеет специальную структуру. Рассмотрим теперь кратко свойства решений, которые следуют из этих специальных структур.

Для случая регулирования при воздействии возмущений дифференциальное уравнение состояния и уравнение для выходной переменной записываются в форме (3.308), (3.309). Предположим, что решение уравнения Риккати (3.346) разделено в соответствии с разделением вектора

Если соответственно матрица оптимальных коэффициёнтов усиления обратной связи разбита в виде

то нетрудно показать, что

Кроме того, путем разделения уравнения Риккати можно найти, что являются решениями матричных дифференциальных уравнений

(кликните для просмотра скана)

свойств возмущений и определяются путем решения детерминированной задачи регулирования при отсутствии возмущений. После того как определены можно решить уравнение (3.363) с целью определения , а затем и Структура системы управления приведена на рис. 3.14. Очевидно, что обратная связь, т. е. связь от состояния х к входному воздействию и, полностью не зависит от свойств возмущений. Прямая связь, т. е. связь от состояния возмущений к управлению и, конечно, зависит от свойств возмущений.

Аналогичный вывод можно сделать для задач оптимального слежения. В этих случаях оказывается, что для дифференциальных уравнений состояния и для входной переменной со структурой (3.329) и (3.335) матрицу усиления обратной связи можно разбить на блоки

(заметим, что введен знак минус), где

Здесь матрицы получены путем разбиения матрицы Р соответственно разбиению Эти матрицы удовлетворяют матричным дифференциальным уравнениям

Можно сделать вывод, что для оптимальной системы слежения обратная связь также не зависит от свойств эталонной переменной, тогда как на прямую связь, конечно, оказывают влияние свойства эталонной переменной. Схема оптимальной системы слежения представлена на рис. 3.15.

Рис. 3.15. Структура оптимальной системы слежения с обратной связью

Вернемся вновь к общей стохастической задаче оптимального регулирования. На практике обычно встречаются случаи, когда интервалы управления очень велики. Это означает, что представляет интерес случай, когда . В детерминированной задаче регулирования было показано, что обычно уравнение Риккати (3.346) имеет установившееся решение при и что установившийся закон управления является оптимальным для полубесконечных интервалов управления. Можно предположить [103], что установившийся закон управления является оптимальным для стохастического регулятора в том смысле, что минимизирует критерий

(если это выражение существует для установившегося закона управления) в сравнении с другими управлениями, для которых существует выражение (3.370). Для установившегося закона управления критерий (3.370) определяется в виде

если это выражение существует с (3.349)]. Кроме того, установлено, что для стохастической задачи регулирбвания с постоянными параметрами и асимптотически устойчивого закона управления с постоянной настройкой выражение (3.370) равно

Из этого непосредственно следует, что установившийся закон управления минимизирует критерий (3.372) по сравнению со всеми другими законами управления с постоянной настройкой. Из (3.371) видно, что минимальная величина критерия (3.372) определяется выражением

Видно, что если , где — весовые матрицы в средних значениях квадратов ошибки слежения и входного воздействия (как определено в разд. 2.5.1), то выражение (3.372) точно равно

Здесь установившееся среднее значение квадрата ошибки слежения, а — установившееся среднее значение квадрата входного воздействия. Чтобы. вычислить Сеоо и отдельно, как это обычно требуется, необходимо вывести полные уравнения замкнутой системы и получить из них дифференциальное уравнение для матрицы дисперсий состояния. Из этой матрицы дисперсий можно определить все необходимые среднеквадратические величины.

Пример 3.13, Регулятор смесительного бака

В примере 3.11 была описана стохастическая задача регулирования, возникшая при рассмотрении смесительного бака. В дополнение к численным значениям примера 1.2 (разд. 1.2.3) примем следующие значения величин:

Так же как и в примере 3.9 (разд. 3.4.1), запишем весовые матрицы в следующем виде:

где р необходимо выбрать. Как и в примере 3.9, оптимальный закон управления был определен для и 0,1, однако результаты здесь не приведены. Конечно, оказалось, что коэффициенты

усиления обратной связи по переменным состояния объекта не изменяются при учете возмущений в модели системы. Это означает, что полюса замкнутой системы являются точно такими же, как и в табл. 3.1.

Чтобы более детально оценить характеристики системы, вычислим матрицу ковариаций для установившегося состояния

из матричного уравнения

Матрицу ковариаций входного воздействия в установившемся состоянии можно определить следующим образом:

Из этих матриц ковариаций можно легко вычислить среднеквадратические значения компонент управляемой переменной и входного воздействия. В табл. 3.2 приведены результаты вычислений.

Таблица 3.2. Среднеквадратические значения в задаче регулирования смесительного бака

Из таблицы наглядно видно, что с уменьшением флуктуации выходной концентрации становятся все меньше и меньше. Флуктуации выходного потока, обусловленные управлением, в итоге также уменьшаются вместе с Все это происходит, конечно, за счет увеличения флуктуаций входных потоков. Из практических соображений необходимо решить, какая величина является наиболее рациональной.

Пример 3.14. Система отслеживания угловой скорости

Рассмотрим задачу отслеживания угловой скорости, поставленную в примере 3.12. Чтобы решить эту задачу, разработаем специальную структуру задачи отслеживания. Из находим, что оптимальный закон слежения определяется соотношением

Коэффициент обратной связи не зависит от свойств эталонной переменной и фактически уже был определен в предыдущих примерах, где рассматривалась задача регулирования угловой скорости. Из примера 3.7 (разд. 3.4.1) следует, что установившаяся величина коэффициента обратной связи определяется выражением

а установившееся значение равно

Из (3.368) следует, что установившееся значение можно вычислить с помощью уравнения

В результате получаем

Тогда

Наконец, решение уравнения (3.369) для дает

Выберем следующие численные значения:

Тогда получим следующие численные результаты:

Из (3.373) получаем

где . Так как в данной задаче

то находим

Можно использовать соотношение (3.392), чтобы получить приближенные оценки среднеквадратической ошибки слежения и среднеквадратической величины выходного напряжения в следующем виде. Сначала из (3.392) имеем

Из этого следует, что

Аналогично из (3.392) следует

Делаем вывод, что

Точные значения среднеквадратической ошибки слежения и среднеквадратической величины входного напряжения можно найти путем вычисления матрицы ковариаций состояния замкнутой расширенной системы в установившемся состоянии. Эта система описывается уравнением

или

Матрица Q ковариаций в установившемся состоянии является решением матричного уравнения

Численное решение дает

Установившееся среднее значение квадрата ошибки слежения определяется следующим образом:

где — входы матрицы Аналогично среднее значение квадрата входного воздействия описывается выражением

В табл. 3.3 сравниваются оцениваемые и фактические среднеквадратические значения. Кроме того, указаны среднеквадратические значения для разомкнутой системы, т. е. среднеквадратические значения для случая, когда вообще нет управления. Видно, что оцениваемые среднеквадратические ошибка слежения и входное напряжение весьма приближенные, но они дают наглядное представление о порядке величин.

Таблица 3.3. Численные результаты для системы отслеживания угловой скорости

Более того, видно, что управление малоэффективно, так как среднеквадратическая ошибка слежения 13,44 рад/с не является малой в сравнении со среднеквадратической величиной эталонной переменной 30 рад/с. Среднеквадратическая величина входного воздействия весьма мала, однако она, по-видимому, еще может быть уменьшена. Этого можно достичь, выбирая гораздо меньшую величину (см. задачу 3.5).

Проверим теперь эталонную переменную и полосу пропускания замкнутой системы в настоящем примере. Частота срыва для эталонной переменной равна Подставляя закон управления в уравнение системы, найдем для замкнутой системы

Это система первого порядка с частотой срыва

Так как спектральная плотность эталонной переменной, являющейся экспоненциально коррелированным шумом, относительно медленно уменьшается с ростом частоты, разность частот срыва эталонной переменной и замкнутой системы недостаточно велика для получения малой ошибки слежения.