2.10. Разомкнутая установившаяся эквивалентная схема управления

Потенциальные преимущества управления по замкнутой схеме могут быть достаточно ясно освещены при сравнении замкнутых схем управления с их так называемыми разомкнутыми установившимися эквивалентами.

Рис. 2.31. Разомкнутый установившийся эквивалент системы управления.

Ниже мы рассмотрим такие эквивалентные разомкнутые системы управления, при этом ограничимся случаем постоянных параметров.

Рассмотрим замкнутую систему управления с постоянными параметрами и обозначим матричную передаточную функцию от эталонной переменной до входной переменной объекта и через Для такой системы всегда можно построить разомкнутую систему управления (рис. 2.31), которая имеет такую же матричную передаточную функцию от эталонной переменной до входной переменной объекта и. В результате передаточная функция как замкнутой системы, так и вновь построенной разомкнутой системы управления имеет вид

где — матричная передаточная функция объекта от входной переменной объекта и до управляемой переменной По причинам, которые будут объяснены ниже, назовем разомкнутую систему установившимся эквивалентом данной замкнутой системы. В большинстве случаев оказывается, что разомкнутый установившийся эквивалент является худшим, чем замкнутая система управления Часто, однако, имеет смысл исследовать разомкнутый эквивалент данной системы, поскольку он описывает некоторые свойства, которые надо улучшить. Последовательно сравним замкнутые системы управления и их разомкнутые эквиваленты по следующим показателям качества систем управления: устойчивости,

точности слежения в установившемся режиме, поведению в переходном режиме, влиянию возмущений, приложенных к объекту, влиянию шума наблюдений и чувствительности к изменениям объекта.

Рассмотрим сначала устойчивость. Мы сразу же обнаружим, что характеристические числа эквивалентной разомкнутой системы управления состоят из характеристических чисел объекта, наряду с характеристическими числами регулятора (ср. разд. 1.5.4). Это означает, между прочим, что неустойчивый объект не может быть стабилизирован разомкнутым регулятором. Поскольку устойчивость является основным принципом проектирования, не имеет смысла рассматривать разомкнутые эквиваленты, если объект не является асимптотически устойчивым.

Предположим, что объект и разомкнутый эквивалент являются асимптотически устойчивыми. Рассмотрим характеристики точности обеих систем управления в установившемся режиме. Поскольку передаточные функции и матричные-передаточные функции от эталонной переменной до входной переменной объекта рассматриваемых систем соответственно равны, их установившиеся средние значения квадратов ошибок слежениа и установившиеся средние значения квадратов входных переменных также равны. Это обстоятельство объясняет название «установившийся эквивалент». Оно также означает, что с точки зрения качества слежения нет необходимости прибегать к управлению по замкнутому принципу.

Перейдем к рассмотрению свойств переходного процесса. Поскольку среди характеристических чисел разомкнутой эквивалентной системы управления находятся неизмененные характеристические числа объекта, очевидно, что улучшение свойств переходного процесса не может быть достигнуто посредством разомкнутого управления, в противоположность управлению по замкнутому принципу. Под переходным процессом понимается реакция системы управления на ненулевые начальные условия объекта.

Затем рассмотрим влияние возмущений. Как и в разд. 2.7, предположим, что возмущающая переменная может быть записана как сумма постоянной и переменной частей. Поскольку в многомерном случае составляющая управляющей переменной замкнутой системы, обусловленная возмущением, представдяется в виде

составляющую среднего значения квадрата ошибки слежения замкнутой системы от возмущающей переменной можно записать следующим образом:

где использованы результаты разд. 1.10.3. и 1.10.4, и

По аналогии со скалярным случаем называется матрицей чувствительности системы. Предполагается, что матрица А неособая. Рассмотрим теперь эквивалентную разомкнутую систему. Составляющая управляемой переменной от возмущения определяется в виде

Полагая, что разомкнутая эквивалентная система управления асимптотически устойчива, можно найти, что прирост установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения, обусловленный возмущением, в разомкнутой системе может быть определен выражением

Из (2.198) видно, что прирост установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения не зависит от регулятора, и на него не оказывает влияния схема разомкнутой системы управления. Ясно, что в разомкнутой системе подавление возмущений невозможно.

Поскольку матрица спектральных плотностей может быть известна с недостаточной точностью, представляет определенный интерес установить, существуют ли условия, которые гарантируют, что в замкнутой системе управления возмущения подавляются по сравнению с разомкнутым эквивалентом безотносительно к Перепишем выражение (2.195) для црироста среднего значения квадрата ошибки слежения замкнутой системы следующим образом:

где — матрица чувствительности системы. Сравнение этого выражения с (2.198) приводит к следующему утверждению.

Теорема 2.1. Рассмотрим асимптотически устойчивую замкнутую систему управления с постоянными параметрами, в которой управляемая переменная является также наблюдаемой переменной и объект является асимптотически устойчивым. Тогда прирост установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения, обусловленный приложенным к объекту возмущением, по крайней мере меньше аналогичного значения установившегося разомкнутого эквивалента безотносительно к свойствам возмущения в том и только в том случае, если

Доказательство этой теоремы основано на том, что если заданы две неотрицательно определенные эрмитовы матрицы то из следует и наоборот для любой неотрицательно определенной эрмитовой матрицы

Условие (2.200) особенно удобно для систем со скалярными входом и выходом, где — скалярная функция, так что (2.200) сводится к неравенству

Обычно это условие проще проверить с помощью функции возвратной разности

Учитывая это, выражение (2.201) можно переписать в следующем виде:

Для многомерных систем часто также более удобно проверить справедливость выражения (2.200) с помощью матрицы возвратной разности

В связи с этим представляется полезным следующий рееультат.

Теорема 2.2. Пусть Тогда эквивалентны три следующих утверждения:

Доказательство оставляем для упражнения.

Таким образом, видно, что разомкнутые системы хуже замкнутых с точки зрения подавления возмущений. Справедливости ради следует заметить, что в разомкнутых системах управления возмущения, приложенные к объекту, не увеличивают среднего значения квадрата входной переменной.

Следующим предметом рассмотрения является влияние шума наблюдений. Очевидно, в разомкнутых системах управления шум наблюдений не воздействует ни на среднее значение квадрата входной переменной, ни на среднее значение квадрата ошибки слежения, поскольку не имеется обратной связи, которая вводит шум наблюдений в систему. В этом отношении разомкнутый эквивалент превосходит замкнутую систему.

В заключение рассмотрим чувствительность к изменениям объекта. Рассмотрим сначала скалярный случай и выразим среднее значение квадрата ошибки слежения, обусловленной изменениями в объекте, для разомкнутой системы управления. Поскольку разомкнутая система имеет единичную функцию чувствительности, из выражения (2.184) следует, что при допущениях разд. 2.9 среднее значение квадрата ошибки слежения, обусловленной изменениями в объекте, определяется выражением

Полагая, что определяется путем рассмотрения номинальных средних значений квадратов ошибки слежения и входной переменной, из этого выражения можно заключить, что на чувствительность разомкнутой системы управления к изменениям передаточной функции объекта не влияет схема системы управления. Очевидно, что защита от изменений в объекте не может быть обеспечена посредством управления по разомкнутой схеме.

Для замкнутых систем среднее значение квадрата ошибки слежения, обусловленной изменениями объекта, определяется выражением (2.184)

Сравнение (2.206) и (2.207) показывает, что замкнутая система всегда менее чувствительна к изменениям объекта, чем эквивалентная разомкнутая система, независимо от того, каков характер

изменений и каковы свойства эталонной переменной, если функция чувствительности удовлетворяет неравенству

Таким образом, видно, что условие, которое гарантирует, что замкнутая система менее чувствительна к возмущениям, чем разомкнутая, также делает систему менее чувствительной к изменениям объекта.

Для многомерного случая условие (2.208) подавления возмущений обобщается следующим образом:

Таблица 2.2. Сравнение замкнутых и разомкнутых схем (см. скан)

Условие (2.209) гарантирует [41, 97], что прирост установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения, из-за (малых) изменений объекта в замкнутой системе никогда не превышает аналогичного значения для разомкнутого установившегося зквивалента независимо от характера изменений объекта и свойств эталонной переменной.

Завершим этот раздел табл. 2.2, которая подытоживает сходные и отличные показатели замкнутых схем управления и их разомкнутых установившихся эквивалентов.