3.9. Чувствительность линейных систем управления с обратной связью по состоянию

В гл. 2 было показано, что весьма важным свойством замкнутых систем является способность противодействовать возмущениям и компенсировать изменения параметров. В настоящем разделе

будет исследован вопрос, в какой степени оптимальные системы регулирования и слежения обладают этими свойствами. Если ограничиться только системами с постоянными параметрами и рассмотреть только установившийся случай, для которого конечный момент времени находится в бесконечности, то оптимальные системы регулирования и слежения будут иметь структуру, представленную на рис. 3.31. Оптимальный закон управления для общего случая можно представить в форме

где — состояние эталонной переменной; — заданная точка; — постоянные матрицы. Матрица F определяется выражением

где Р — неотрицательно определенное решение алгебраического уравнения Риккати

В разд. 2.10 было показано, что способность замкнутых систем противодействовать возмущениям или компенсировать изменения параметров в сравнении с аналогичной разомкнутой системой определяется поведением матрицы возвратной разности Получим, матрицу для настоящего случая. Передаточная матрица объекта описывается выражением в то время как для контура обратной связи она просто равна Тогда матрица возвратной разности имеет вид

Отметим, что полное состояние рассматривается как управляемая переменная (разд. 2.10).

Получим теперь выражение для матрицы исходя из алгебраического уравнения Риккати (3.591). Суммирование и вычитание дополнительного члена дает после перегруппировки

После предварительного умножения на и последующего умножения на получим

Это выражение можно преобразовать следующим образом:

После подстановки это выражение можно переписать в виде

где . Предварительное умножение обеих частей выражения (3.596) на и последующее умножение на дает после преобразования

или

После подстановки замечаем, что второй член в правой части этого выражения является неотрицательно определенной эрмитовой матрицей. Это означает, что можно написать

где

Из разд. 2.10 известно, что условие в форме (3.599) гарантирует подавление возмущений и компенсацию изменения параметров в сравнении с эквивалентной разомкнутой системой при всех частотах. Этот результат весьма важен. В разд. 3.6 установлено, что оптимальный регулятор оказывает оптимальное противодействие возмущениям в виде белого шума на входе объекта. Настоящий результат, однако, показывает, что противодействие возмущениям не ограничивается только этим специальным случаем. Компенсация изменения параметров обеспечивается аналогичным образом.

Таким образом, получаем следующий результат [4, 97].

Теорема 3.15. Рассмотрим структуру системы (рис. 3.31), в которой объект является обнаруживаемой и стабилизируемой системой с постоянными параметрами:

Рис. 3.32. Пример системы, в которой управляемая переменная находится внутри контура обратной связи.

Пусть матрица коэффициентов усиления обратной связи задается выражением

где Р — неотрицательно определенное решение алгебраического уравнения Риккати

Тогда возвратная разность

удовлетворяет неравенству

где

Распространение этого результата на случай систем с переменными параметрами читатель может найти в работе [98].

Очевидно, что в структуре, представленной на рис. 3.31, обеспечивается только улучшенное противодействие возмущениям и изменению параметров внутри контура обратной связи. В частности, изменения в матрице полностьюотражаются на управляемой переменной Однако часто изменения в матрице не имеют места. Такой случай встречается, когда управляемая переменная образована из компонент вектора состояния, а это означает, что фактически находится внутри контура (рис. 3.32).

У теоремы 3.15 имеется недостаток, состоящий в том, что весовая матрица становится известной только после того, как

вычислен закон управления. Поэтому трудно выбрать параметры таким образом, чтобы получить заданную весовую матрицу. Видно, что при определенных условиях можно определить асимптотическое выражение для матрицы . В разд. 3.8.3 было установлено, что если и передаточная матрица разомкнутой системы не имеет нулей в правой полуплоскости, то решение Р алгебраического уравнения Риккати приближается к нулевой матрице, когда весовая матрица становится нулевой. Анализ алгебраического уравнения Риккати (3.591) показывает, что из этого следует

при

при Тем саздым доказывается, что весовая матрица в критерии чувствительности (3.605) достигает величины при

Рассмотрим полное состояние как переменную обратной связи. Это озпачает, что взвешенная квадратическая ошибка слежения равна

Из только что полученных результатов следует, что при это выражение можно заменить на

Это означает (разд. 2.10), что в пределе управляемая переменная защищена от возмущений и изменений параметров, а компоненты управляемой переменной взвешиваются матрицей Этот результат весьма важен, так как данная управляемая переменная представляет паибольший интерес.

Установленное свойство, однако, не реализуется для объектов с нулями в правой полуплоскости или со слишком малым числом входных переменных, так как при этом Р не приближается к нулевой матрице.

Подытожим полученные результаты.

Теорема 3.16. Рассмотрим весовую матрицу

где

и Р — неотрицательно определенное симметрическое решение уравнения

Если удовлетворяются условия (теорема ), при которых при , то

при

Результаты этого раздела показывают, что в общем системы о обратной связью оказывают противодействие возмущениям и изменениям параметров. Так как матрицы чувствительности использовать не удобно, то затруднительно определить, как поступать при том или ином изменении параметров. Однако вполне обоснованы следующие общие выводы.

1. При уменьшении весовой матрицы улучшается противодействие возмущениям и изменениям параметров, так как возрастают коэффициенты обратной связи. Для объектов с нулями только в левой полговине комплексной плоскости частота срыва, до которой обеспечивается противодействие возмущениям, определяется удаленными полюсами замкнутой системы, которые смещаются от начала координат при уменьшении матрицы

2. Для объектов с нулями только в левой полуплоскости большинство защитных свойств распространяется на управляемую переменную. Весовая доля различных компонент управляемой переменной определяется весовой матрицей

3. Для объектов с нулями в правой полуплоскости частота срыва, до которой обеспечивается противодействие, ограничивается близко расположенными полюсами замкнутой системы, которые не компенсируются нулями.

Пример 3.26. Система управления положением

Для иллюстрации теории данного раздела проведем краткий анализ чувствительности системы управления положением, рассмотренной в примере 3.8 (разд. 3.4.1). При заданйых численных значениях параметров легко определить весовую матрицу в критерии чувствительности

Это весьма близко к предельной величине

Рис. 3.33. Влияние изменения параметров на реакцию системы управления положением. 1 — номинальная нагрузка; 2 — нагрузка в 2/3 номинальной величины момента инерции; 3 — нагрузка в 3/2 номинальной величины момента инерции.

На рис. 3.33 приведена реакция замкнутой системы для номинальных И нерасчетных условий, которая позволяет проанализировать чувствительность замкнутой системы к изменению параметров. Здесь нерасчетные условия вызваны изменением момента инерции нагрузки, приводимой в движение системой управления положением. Кривая 1 соответствует номинальному случаю, а для кривых 2 и 3 суммарный момент нагрузки и якоря двигателя составляет 2/3 и 3/2 номинальной величины соответственно. Изменение суммарного момента инерции на заданную величину соответствует делению констант а и х на один и тот же коэффициент. Таким образом 2/3 номинального момента инерции соответствуют значениям 6, 9 и 1, 18 для а и х, а 3/2 номинального момента инерции приводят к величинам 3,07 и 0,525 для а и х соответственно. Рис. 3.33 наглядпо иллюстрирует ограниченное влияние относительно больших изменений параметров.