4.2.3. НАБЛЮДАТЕЛИ ПОНИЖЕННОГО ПОРЯДКА

В этом разделе будет показано, что можно построить наблюдатели с размерностью, меньшей размерности наблюдаемой системы. Назовем такие наблюдатели наблюдателями пониженного порядка. Пусть система, которую необходимо наблюдать, описывается уравнениями

где размерность состояния равна а размерность наблюдаемой переменной равна I. Поскольку уравнение наблюдений дает I линейных уравнений для неизвестного состояния то необходимо восстановить только линейных комбинаций компонент состояния. Такой подход впервые был рассмотрен в работах [116, 117]. Здес? используется метод, предложенный в работе [42].

Предполагая, что матрица С имеет полный ранг, введем такой -мерный вектор

при котором матрица

является несингулярной. Из соотношений

следует

Удобно записать

так что

Если восстановить вектор и обозначить восстановленную величину через то можно записать восстановленное состояние в виде

Наблюдатель для можно найти, учитывая, что вектор удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

или

Отметим, что в этом дифференциальном уравнении является вынуждающей переменной. Если теперь попытаться определить наблюдатель для заменяя на в уравнении (4.43) и добавляя член , где К — матрица коэффициентов усиления, то эта попытка окажется безуспешной, так как из (4.41) следует Очевидно, что у не несет никакой информации о векторе Новую информацию можно получить, дифференцируя

Уравнения (4.43) и (4.44) описывают наблюдатель

В качестве упражнения предлагается показать, что если пара является полностью восстанавливаемой, то пара также является полностью восстанавливаемой, так что путем соответствующего выбора матрицы К все полюса уравнения (4.45) можно распределить произвольным образом [187].

Для реализации наблюдателя нет необходимости находить производную Чтобы показать это, определим

Легко показать, что

Это уравнение не содержит . Восстановленное состояние определяется соотношением

Уравнения (4.47) и (4.48) описывают наблюдатель вида (4.4). Так как в наблюдателе пониженного порядка имеется непосредственная связь между наблюдаемой переменной и восстанавливаемым состоянием оценка будет более чувствительна к ошибкам измерения чем оценка, вырабатываемая наблюдателем пониженного порядка. Вопрос о влиянии ошибок измерений и возмущений в системе на наблюдатель рассматривается в разд. 4.3.

Пример 4.2. Система управления положением

В этом примере получим наблюдатель первого порядка для системы управления положением, рассмотренной в примере 4.1. Для этой системы наблюдаемая переменная определяется соотношением

Выберем переменную которая является скаляром, в виде

таким образом, чтобы точно являлась угловой скоростью. Очевидно, что удовлетворяет дифференциальному уравнению

Уравнение наблюдений получим путем дифференцирования

Тогда наблюдатель описывается уравнением

в котором необходимо выбрать скалярный коэффициент усиления наблюдателя. Характеристическая величина наблюдателя равна Чтобы сделать такой наблюдатель сравнимым с наблюдателем полного порядка из примера 4.1, выберем полюс наблюдателя на таком же расстоянии от начала координат, как и пара полюсов в примере 4.1. Выберем

При это дает для коэффициента усиления

Восстановленное состояние исходной системы описывается выражением

Чтобы получить наблюдатель пониженного порядка без определения производных, положим

Используя уравнение (4.53), найдем, что удовлетворяет дифференциальному уравнению

Восстановленное состояние исходной системы определяется через член с помощью выражения

На рис. 4.3 сравниваются выходная переменная наблюдателя пониженного порядка, описываемого соотношениями (4.57) и (4.58), с действительным поведением системы. Начальные условия для системы, как и в примере 4.1, равны

а вход системы определяется в виде

Начальным условием для наблюдателя является

Рис. 4.3. Фактическая реакция системы управления положением и реакция, восстановленная наблюдателем пониженного порядка.

На рис. 4.3 видно, что угловое положение воспроизводился точно, а оцениваемая угловая скорость быстро сходится к точной величине, хотя начальная оценка не является очень хорошей.