3.6.2. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ СЛЕЖЕНИЯ

Задача построения стохастического оптимального регулятора была сформулирована при рассмотрении задачи регулирования с возмущениями. Стохастические задачи регулирования возникают

также при постановке стохастических оптимальных задач слежения. Рассмотрим линейную систему

с управляемой переменной

Предположим, что управляемая переменная должна быть максимально близка к эталонной переменной которая рассматривается как выходная переменная линейной дифференциальной системы, возбуждаемой белым шумом,

с

Здесь — белый шум с заданной интенсивностью Уравнения системы и эталонной модели можно объединить, вводя расширенный вектор состояния удовлетворяющий уравнению

Заметим, что эта система [так же, как и (3.308)] не является полностью управляемой по и.

Чтобы синтезировать оптимальную следящую систему, рассмотрим критерий

где — соответствующие весовые матрицы. Этот критерий характеризует меру отклонения от эталонной переменной при ограничении амплитуды входной переменной. При критерий упрощается:

где — среднее значение квадрата ошибки слежения и

среднее значение квадрата входной переменной соответственно, как и в гл. 2 (разд. 2.3):

Здесь — ошибка слежения,

Весовой коэффициент должен выбираться таким образом, чтобы получить наименьшее возможное среднее значение квадрата ошибки слежения при заданной величине среднего значения квадрата входной переменной.

Критерий (3.330) можно выразить через компоненты расширенного вектора состояния в следующем виде:

где

Задача минимизации критерия (3.334) для системы (3.329), очевидно, является специальным случаем стохастической задачи синтеза оптимального линейного регулятора в соответствии с определением 3.4.

Не входя в детали, укажем, что задачи слежения с возмущениями могут быть сведены к стохастическим задачам регулирования методом обновления состояния.

В заключение отметим, что подход, использованный в этом разделе, полностью согласуется с гл. 2, в которой рассматривались эталонные переменные с переменной и постоянной частями. В следующем разделе примем постоянную часть равной нулю; в разд.

3.7.1 будем рассматривать ненулевые постоянные эталонные переменные.

Пример 3.12. Система управления угловой скоростью

Рассмотрим систему управления угловой скоростью из примера 3.3 (разд. 3.3.1). Предположим, что угловая скорость, которая является управляемой переменной Должна отслеживать по возможности точно эталонную переменную которую можно представить в виде экспоненциально коррелированного шума с постоянной времени 0 и среднеквадратическим значением ст. Тогда эталонный процесс можно описать выражением (см. пример 1.36, разд. 1.11.4)

где решение уравнения

Белый шум имеет интенсивность . Так как дифференциальное уравнение состояния системы имеет вид

то дифференциальное уравнение расширенного состояния можно записать следующим образом:

где . В качестве критерия оптимальности примем

где — соответствующий весовой коэффициент. Этот критерий можно представить в виде

где

Задача минимизации критерия (3.341) для системы, описываемой уравнениями (3.339) и (3.342), является задачей стохастического оптимального регулирования.