5.9. Задачи

5.9.1. СИСТЕМА РЕГУЛИРОВАНИЯ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ

Рассматривается система регулирования угловой скорости, описывается дифференциальным уравнением состояния

Здесь — угловая скорость; — управляющее напряжение;

— возмущение, представляемоев виде белого шума с интенсивностью Управляемой переменной является угловая скорость

Наблюдаемой переменной также является угловая скорость

где — белый шум с интенсивностью М. Принимаются следующие численные значения:

Предполагается, что рассматриваемая система должна быть системой регулирования, поддерживающей постоянную величину угловой скорости. Постройте оптимальный регулятор с обратной связью по выходной переменной так, чтобы среднеквадратическая величина входного напряжения была равна 10 В. Вычислите среднеквадратическую ошибку регулирования и сравните ее со среднеквадратической ошибкой регулирования для случая, когда управление отсутствует.

5.9.2. СИСТЕМА ОТСЛЕЖИВАНИЯ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ

Предполагается, что систему из задачи 5.9.1 необходимо преобразовать в систему отслеживания угловой скорости. Для эталонной леременной принимается экспоненциально коррелированный шум с постоянной времени 9 и среднеквадратической величиной . Кроме того, предполагается, что эталонная переменная измеряется с аддитивным белым шумом с интенсивностью Постройте оптимальную следящую систему. Примите следующие значения:

Определите такую оптимальную следящую систему, чтобы суммарная среднеквадратическая величина входного воздействия составляла 10 В. Вычислите суммарную среднеквадратическую ошибку слежения и сравните ее со среднеквадратической величиной эталонной переменной.

5.9.3. СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ С НЕНУЛЕВОЙ ЗАДАННОЙ ТОЧКОЙ

Следящая система из задачи 5.9.2 не обладает тем свойством, что при постоянной величине эталонной переменной установившаяся ошибка слежения равна нулю. Чтобы построить такой регулятор, нужно провести синтез регулятора с ненулевой заданной точкой, как предлагалось в разд. 5.5.1. Для закона управления с обратной связью по состоянию выбирается закон, полученный в задаче 5.9.1. Предварительный фильтр выбирается так, чтобы

ступенчатому изменению эталонной переменной на 30 рад/с соответствовало пиковое входное напряжение 10 В или меньше. Сравните получившийся регулятор с регулятором из задачи 5.9.2.

5.9.4. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ СИСТЕМОЙ РЕГУЛИРОВАНИЯ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ

Рассматривается система регулирования угловой скорости, описанная в задаче 5.9.1. Предполагается, что в дополнение к переменному возмущению, представленному шумом существует также постоянное возмущение действующее на двигатель постоянного тока, так что дифференциальное уравнение состояния принимает вид

Наблюдаемая переменная определяется выражением (5.278), и принимаются численные значения (5.279). Управляемая переменная задается выражением (5.277). Постройте для данного, случая регулятор с нулевой установившейся ошибкой, как в разд. 5.5.2. С этой целью предположите, что представляется в виде интегрального белого шума, и примите интенсивность этого белого шума равной Вычислите реакцию системы на ступенчатое изменение постоянного возмущения на из установившихся условий и проанализируйте эту реакцию. Каков эффект увеличения или уменьшения принятой интенсивности белого шума

5.9.5. СОПРЯЖЕННЫЕ МАТРИЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассматривается матричное дифференциальное уравнение

совместно с линейным функционалом

Докажите, что выражение (5.283) равно

Рис. 5.14. Линейная система управления с обратной связью и постоянными параметрами.

где — решение сопряженного матричного дифференциального уравнения

5.9.6. СВОЙСТВА СКАЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ

В разд. 5.6 отмечалось, что в оптимальных линейных системах с обратной связью по выходной переменной обычно не происходит ослабление возмущений на всех частотах в сравнении с эквивалентной разомкнутой системой. Для систем со скалярными входной и выходной переменными это вытекает из следующей теоремы [21, 176].

Рассмотрим линейную систему с одним входом и одним выходом с постоянными параметрами и передаточной функцией Обозначим передаточную функцию регулятора (рис. 5.14) через передаточная функция всей системы управления определяется выражением

Функция чувствительности равна

Обозначим через разность степени знаменателя и числителя. Предполагается, что система управления асимптотически устойчива.

Тогда

где

Докажите этот результат. Сделайте вывод, что для объектов и регуляторов без прямых связей неравенство

выдерживается не при всех со. Указание, интегрируйте по контуру, который состоит из участка мнимой оси, охватываемого полуокружностью в правой половине комплексной -плоскости, когда радиус полуокружности стремится к бесконечности.