1.11.3. УСТАНОВИВШЕЕСЯ ЗНАЧЕНИЕ МАТРИЦЫ ДИСПЕРСИЙ ДЛЯ СЛУЧАЯ ПОСТОЯННЫХ ПАРАМЕТРОВ

В предыдущем разделе найдено выражение [уравнение (1.510)] для матрицы дисперсий состояния линейной дифференциальной системы, возбуждаемой белым шумом. В настоящем разделе рассматривается асимптотическое поведение матрицы дисперсий в случае постоянных параметров, т. е. когда А, В и V являются постоянными матрицами. В этом случае (1.510) может быть записано в виде

Нетрудно видеть, что при произвольном имеет предел

тогда и только тогда, когда матрица А асимптотически устойчива. Поскольку матрица является решением дифференциального уравнения (1.502), ее предел Q также должен удовлетворять этому уравнению, так что

Нетрудно установить, что это матричное алгебраическое уравнение имеет единственное решение, которое должно определяться выражением (1.515). Это вытекает из следующего результата теории матриц [63].

Лемма 1.5. Пусть — действительные матрицы размерами соответственно. Пусть обозначают характеристические числа матриц М, и соответственно. Тогда матричное уравнение

имеет единственное решение X в том и только том случае, если для всех

Црименяя эту лемму к уравнению (1.516), положив Отсюда следует, что . Поскольку по допущению А является асимптотически устойчивой, все характеристические числа имеют строго отрицательные действительные части и неизбежно

для всех Таким образом, (1.516) имеет единственное решение. Обобщим изложенное.

Теорема 1.53. Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение

где А и В — постоянные матрицы, — белый шум постоянной интенсивности V. Тогда, если матрица А асимптотически устойчивая и или матрица дисперсии процесса стремится к постоянной неотрицательно определенной матрице

которая является единственным решением. матричного уравнения

Матрица таким образом, может быть найдена как предел решения дифференциального уравнения (1.502) при начальном условии из интеграла (1.521) или из алгебраического уравнения (1.52); здесь — произвольная положительно полуопределенная матрица.

Матричные уравнения вида (1.522) также имеют место в теории устойчивости и известны как уравнения Ляпунова. Хотя матричное уравнение (1.522) линейно относительно его решение не может непосредственно быть получено с помощью простого обращения матриц. В работах [38, 121] даются полезные предложения по составлению линейных уравнений, из которых может быть найдена матрица Другие возможные подходы рассматриваются в

работах [9, 47, 78, 95, 115, 130, 149, 164, 165]. В работе [69] сделано сравнение различных методов решения, но рекомендации к применению какого-либо одного метода не дается. Обзор некоторых методов решения выполняется также в работах [10,152].

Заметим, что, если матрица А асимптотически устойчивая и выходная переменная дифференциальной системы (1.499) является стационарным в широком смысле процессом.

Спектральная плотность состояния х равна

Тогда, используя (1.473), можно получить другое выражение для , а именно

Как было показано в настоящем разделе, установившееся значение матрицы дисперсий Q является асимптотическим решением дифференциального уравнения дисперсий при или . Предположим теперь, что в качестве начальной дисперсии в момент выбрано установившееся значение матрицы дисперсий, т. е. положим

Согласно (1.502), это ведет к равенству

Полученный таким образом процесс имеет все свойства стационарного в широком смысле процесса.

Пример 1.35. Установившиеся значения дисперсии и ковариационной функции системы первого порядка.

Рассмотрим (см. пример 1.34) скалярное дифференциальное уравнение

где скалярный белый шум имеет интенсивность Обозначая через Q предел при из (1.513) получаем

Уравнение Ляпунова (1.522) сводится к следующему:

что согласуется с (1.528). Из (1.521) следует тот же самый результат

Наконец, можно проверить, что из (1.524) следует

Заметим, что ковариационная функция определяемая выражением (1.512), сходится к

при и конечном отрезке времени Матрица равна этому пределу при конечных если дисперсия начального состояния равна

Таким образом, выражение (1.527) представляет собой экспоненциально коррелированный шум при условии, что является стохастической величиной с нулевым средним и дисперсией