3.8.2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕГУЛЯТОРА СО СКАЛЯРНЫМИ ВХОДНОЙ И ВЫХОДНОЙ ПЕРЕМЕННЫМИ ПРИ НЕНУЛЕВОЙ ЗАДАННОЙ ТОЧКЕ

В этом разделе будет рассмотрен оптимальный регулятор с одним входом и одним выходом в свете результатов разд. 3.8.1. Рассмотрим систему со скалярной входной переменной

и скалярной управляемой переменной

Здесь — вектор-столбец, — вектор-строка. Из разд. 3.7 известно, что оптимальный закоп управления при ненулевой заданной точке определяется выражением

где — вектор-строка

решение соответствующего уравнения Риккати. Кроме того, — передаточная функция замкнутой системы,

— заданная точка для управляемой переменной.

Для исследования реакции регулятора на ступенчатое изменение заданной точки заменим переменную зависящую от времени. Тогда взаимосвязь разомкнутой системы и оптимального закона управления при ненулевой заданной точке описывается уравнениями

Преобразование Лапласа для передаточной функции от заданной точки к управляемой переменной дает

Рассмотрим передаточную функцию замкнутой системы

Очевидно, что

где — характеристический полином замкнутой системы, а — другой полином. В разд. 3.7 было показано [уравнение (3.428)], что числитель определителя квадратичной матричной передаточной функции не зависит от матрицы усиления обратной связи и равен полиному числителя матричной передаточной функции разомкнутой системы

Поскольку в случае системы с одним входом и одним выходом определитель передаточной функции сводится к самой передаточной функции, можно сразу сделать вывод, что полином равен полиному определяемому выражением

Здесь — передаточная функция разомкнутой системы, а — характеристический полином разомкнутой еистемы.

В результате получаем

Напишем

— нули Тогда из теоремы 3.11 следует, что прир можно написать для характеристического полинома замкнутой системы

где определяются выражением (3.484), а образуют распределение Баттерворса порядка с радиусом 1 и где

Подстановка выражения (3.544) в (3.542) дает следующую аппроксимацию для

Перепишем это выражение в виде

где — полином Баттерворса порядка определяется выражением

В табл. 3.5 указаны некоторые полиномы Баттерворса невысокого порядка

Таблица 3.5. Полипомы Баттерворса

Из выражения (3.547) следует, что если передаточная функция разомкнутой системы имеет нули только в левой полуплоскости, то передаточная функция системы управления приближается к виду

прир Назовем это выражение передаточной функцией Баттерворса порядка с частотой срыва На рис. 3.25, 3.26 представлены реакции на ступенчатое воздействие и диаграммы Боде для систем с передаточными функциями Баттерворса различных порядков. Графики на рис. 3.25 являются примером реакций системы на ступенчатое изменение заданной точки. Такая реакция асимптотически не зависит от полюсов и нулей разомкнутой системы при условии, что последние находятся в левой половине

Рис. 3.25. Реакции на ступенчатое воздействие систем с передаточной функцией Баттерворса первого — пятого порядков с частотой срыва 1 рад/с (соответственно кривые 1—5).

комплексной плоскости. Видно также, что, выбирая достаточно малым, можно сделать произвольно высокими частоту срыва и соответственно время переходного процесса при ступенчатом воздействии. Очень высокая скорость перехода, конечно, достигается за счет больших амплитуд входного воздействия.

Результаты этого анализа показывают, что реакция управляемой переменной на изменения заданной точки в основном определяется удаленными полюсами Близко расположенные полюса, которые почти совпадают с полюсами разомкнутой системы, оказывают незначительное влияние на реакцию управляемой переменной, так как они почти компенсируются нулями. Как будет показано в следующем разделе, удаленные полюса практически определяют не только реакцию управляемой переменной на изменение заданной точки, но также и реакцию на произвольные начальные условия. Как можно легко показать (и это будет проиллюстрировано на примерах), близко расположенные полюса оказывают существенное влияние на входную переменную. Поэтому длительность переходного процесса по ошибке слежения определяется удаленными полюсами, а входная переменная — близко расположенными полюсами.

Рис. 3.26. Амплитудная и фазовая характеристики для передаточной функции Баттерворса первого — пятого порядков с частотой срыва 1 рад/с (соответственно кривые 1—5).

Для систем с нулями в правой полуплоскости ситуация оказывается менее благоприятной. В этом случае передаточная функция содержит дополнительные множители вида

а реакция по ошибке слежения определяется близко расположенным полюсом в точке Это налагает принципиальное ограничение по быстродействию систем с нулями в правой полуплоскости. В следующем разделе снова обратимся к этому вопросу, но сначала подытожим результаты данного раздела.

Рис. 3.27. Реакция системы управления тангажом на ступенчатое изменение 0,1 рад заданной величины угла тангажа, (см. скан).

Теорема 3.13. Рассмотрим оптимальный закон управления (3.535) при ненулевой заданной точке для стабилизируемой и обнаруживаемой системы со скалярными входной и выходной переменными, имеющей постоянные параметры

где Тогда при передаточная функция системы управления Т(s), т. е. передаточная функция замкнутого контура от переменной заданной точки к управляемой переменной стремится к виду

где — полином Баттерворса порядка с радиусом — порядок системы; — число нулей передаточной функции разомкнутой системы; — асимптотический радиус распределения Баттерворса для удаленных полюсов замкнутой системы, определяемых выражением (3.486); нули передаточной функции разомкнутой системы, — нули передаточной функции разомкнутой системы, зеркально отраженные в левой половине комплексной плоскости.

Пример 3.22. Управление углом тангажа

Рассмотрим задачу управления углом тангажа из примера 3.20. При матрицу усиления обратной связи для установившегося состояния можно вычислить в виде

Соответствующий характеристический полином замкнутой системы определяется выражением

Полюса замкнутой системы равны

Видно, что первые два полюса очень близки к нулям разомкнутой системы Передаточная функция замкнутой системы определяется выражением

так что . В результате закон управления при нулевой заданной точке имеет вид

для которого — заданная точка по углу тангажа.

На рис. 3.27 представлена реакция системы на ступенчатое воздействие 0,1 рад в заданной точке Видно, что угол тангажа 0 быстро достигает заданной величины, а реакция системы полностью определяется размещением Баттерворса второго порядка в точках Полюс —0,9953, соответствующий постоянной времени около 1 с, оказывает наибольшее воздействие на реакцию по скорости вдоль оси z и может быть также идентифицирован по отклонению руля высоты 8. Очень медленное движение с постоянной времени 50 с, которая соответствует полюсу

—0,02004, представлено в реакции по скорости и вдоль оси х, скорости вдоль оси а также в отклонении руля высоты хотя это и не видно на графике. Требуется около 2 мин для того, чтобы скорости и и достигли установившихся значений — 49,16 и

Отметим, что этот закон управления дает начальное отклонение руля высоты около —1 рад (вообще говоря, очень большое).

Пример 3.23. Система с нулем в правой полуплоскости

В качестве второго примера рассмотрим систему со скалярной входной переменной, описываемую дифференциальным уравнением состояния

Выберем для управляемой переменной

Рис. 3.28. Родограф полюсов замкнутой системы с нулем в правой полуплоскости.

Эта система имеет передаточную функцию в разомкнутом состоянии

и, следовательно, нуль в правой полуплоскости. Рассмотрим для этой системы критерий

Соответствующее уравнение Риккати имеет установившееся решение

а вектор коэффициентов усиления обратной связи в установившемся состоянии определяется выражением

Полюса замкнутой системы можно найти из выражения

На рис. 3.28 приведен вид годографа полюсов замкнутой системы. Как и ожидалось, один из полюсов замкнутой системы приближается к зеркальному отражению нуля в правой полуплоскости, тогда как другие полюса уходят в вдоль вещественной оси.

Рис. 3.29. Реакция замкнутой системы с нулем в правой полуплоскости на единичное ступенчатое изменение в заданной точке. (см. скан)

При характеристический полином замкнутой системы определяется выражением

а полюса замкнутой системы равны Передаточная функция замкнутой системы имеет вид

где Вектор коэффициентов усиления обратной связи в установившемся состоянии равен

Закон управления при ненулевой заданной точке описывается выражением

На рис. 3.29 показана реакция замкнутой системы на ступенчатое изменение заданной точки Видно, что в этом случае реакция определяется в основном полюсом замкнутой системы —0,943. При этом нельзя получить реакцию с большим быстродействием и одновременно меньшей интегральной квадратической ошибкой слежения.