4.6. Задачи

4.6.1. НАБЛЮДАТЕЛЬ ДЛЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЕМ ПЕРЕВЕРНУТОГО МАЯТНИКА

Рассмотрим систему управления положением перевернутого маятника, описанную в примере 1.1 (разд. 1.2.3). Дифференциальное уравнение состояния этой системы имеет вид

Предположим, что в качестве наблюдаемой переменной выбран угол , который маятник образует с вертикалью, т. е. пусть

Рассмотрите задачу построения наблюдателя с постоянными параметрами для этой системы:

а) Покажите, что нельзя найти асимптотически устойчивый наблюдатель. Объясните это с физической точки зрения.

б) Покажите, что если в дополнение к углу также

измеряется перемещение тележки т. е. дополнительно вводится компонента

в наблюдаемой переменной, то можно построить асимптотически устойчивый наблюдатель с постоянными параметрами.

4.6.2. ВОССТАНОВЛЕНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ

Рассмотрим систему управления угловой скрростью из примера 3.3 (разд. 3.3.1), которая описывается дифференциальным уравнением состояния

где — угловая скорость, — входное напряжение. Предположим, что система возмущается случайно изменяющимся моментом, действующим на вал. Тогда напишем

где — экспоненциально коррелированный шум со среднеквадратической величиной и постоянной времени Наблюдаемая переменная определяется выражением

где — экспоненциально коррелированный со среднеквадратической величиной и постоянной времени Шумы не коррелированы.

Примем следующие численные значения:

а) Так как шум, возбуждающий состояние, и шум наблюдений имеют очень широкую полосу пропускания в сравнении с полосой пропускания системы, попытайтесь сначала найти оптимальный наблюдатель для угловой скорости путем аппроксимации как шума, возбуждающего состояние, так и шума наблюдений белыми шумами с интенсивностью, равной спектральным плотностям шумов при нулевой частоте. Вычислите установившийся оптимальный наблюдатель, который получается при таком подходе.

б) Чтобы проверить, можно ли представить, шумы белым шумом, промоделируйте и в виде экспоненциально коррелированных шумов и найдите дифференциальное, уравнение

расширенного состояния, которое описывает систему управления угловой скоростью. Используя дифференциальное уравнение наблюдателя, полученное для получите дифференциальное уравнение пространственного расширенного состояния для ошибки восстановления переменных состояния процессов Затем вычиолите установившееся значение дисперсии ошибки восстановления и сравните это число с величиной, которая вычислена в п. (а).

в) Попытайтесь обеспечить более хорошее соответствие между расчетными и фактическими результатами, формулируя заново задачу наблюдения в следующем виде. Шум, возбуждающий состояние, моделируется в виде экспоненциально коррелированного шума, а шум наблюдений аппроксимируется белым шумом, поскольку полоса пропускания шума наблюдений очень широка. Определите установившийся наблюдатель для этого случая и сравните расчетное установившееся среднее значение квадрата ошибки восстановления с фактическим значением, учитывая, что шум наблюдений является экспоненциально коррелированным шумом. Прокомментируйте результаты.

г) Определите точное решение задачи оптимального наблюдения, представляя шум наблюдений в виде экспоненциально коррелированного шума. Сравните характеристики результирующего установившегося оптимального наблюдателя с характеристиками наблюдателя, полученного при условиях п. (в). Прокомментируйте результаты.

4.6.3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ РИККАТИ ДЛЯ НАБЛЮДАТЕЛЯ

Рассмотрите матричное уравнение Риккати

с начальным условием

Определите как -мерное решение следующего уравнения [где -матрица]:

Разделите матрицу соответственно разделению в уравнении (4.287) следующим образом:

Покажите, что решение уравнения Риккати можно записать в виде

4.6.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АПРИОРНЫХ ДАННЫХ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОЙ ЗАДАЧИ НАБЛЮДЕНИЯ

При построении оптимального наблюдателя в сингулярной задаче наблюдения, описанной в разд. 4.3.4, необходимо определить априорные данные

и

где

Предположим, что заданы

и

Докажите, что если является гауссовским процессом, то

и

Определите по этим соотношениям выражения для (4.290) и (4.291).

Указание. Используйте векторную формулу для многомерной гауссовской функции плотности [ср. с выражением (1.434)] и выражение для обращения блочной матрицы, приведенное в работе [133] (упражнение 1.59, стр. 25).