3.4.2. СВОЙСТВА УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

В этом и последующем разделах рассматриваются свойства установившегося решения задачи построения оптимальных регуляторов. Данный раздел посвящен общему случаю системы с переменными параметрами; в следующем разделе более детально рассматривается случай системы с постоянными параметрами. Большая часть результатов настоящего раздела получена Калманом [86]. Авторы книги в той или иной степени следуют его выводам.

Сформулируем сначала следующий результат.

Теорема 3.5. Рассмотрим матричное уравнение Риккати

Предположим, что матрица является непрерывной и ограниченной, матрицы кусочно-непрерывны и ограничены на интервале , кроме того,

где а и — положительные константы.

1. Тогда, если система

а) полностью управляема или

б) экспоненциально устойчива,

то решение уравнения Риккати (3.181) с конечным условием сходится к неотрицательно определенной матричной функции Матрица является решением уравнения Риккати (3.181).

2. Кроме того, если система (3.183)

в) одновременно полностью управляема и полностью восстанавливаема или

г) экспоненциально устойчива, то решение уравнения Риккати (3.181) с граничным условием сходится к при для любого

Доказательство первой части этой теоремы не представляет особых затруднений. Из теоремы 3.4 (разд. 3.3.3) известно, что при конечном

Это выражение, очевидно, является функцией конечного момента времени Сначала установим, что эта функция имеет верхнюю границу. Если система является полностью управляемой [предположение (а)], то существует входное воздействие, которое переводит состояние в нулевое состояние в некоторый момент времени Для этого воздействия можно вычислить величину критерия

которая является верхней границей для соотношения (3.184), так как, очевидно, можно принять при

Если система экспоненциально устойчива (разд. 1.4.1), то сходится экспоненциально к нулю, если принять Тогда интеграл

сходится к конечному числу при поскольку предполагается, что матрицы ограничены. Это число является верхней границей для соотношения (3.184).

Таким образом, показано, что выражение (3.184) как функция имеет верхнюю границу при предположениях (а) и (б). Более того, вполне ясно, что как функция это выражение является монотонно неубывающим. Предположим, что это неверно. Тогда должны существовать такие что величина критерия будет меньше, чем при Введем затем входное воздействие, которое является оптимальным при на интервале Так как интеграл от критерия является неотрицательным, то критерий на этом меньшем интервале должен иметь величину, которая меньше или равна величине критерия на большем интервале Однако здесь возникает противоречие, так как выражение (3.184) должно быть монотонно неубывающей функцией

Поскольку выражение (3.184) как функция ограничено сверху и монотонно не убывает, то должен существовать предел при . Так как выбирается произвольно, то каждый из элементов имеет предел, поэтому матрица также имеет предел, который обозначим через . Очевидно, что является неотрицательно определенной и симметрической матрицей. Тот факт, что является решением матричного уравнения Риккати, следует из непрерывности решений уравнения Риккати относительно начальных условий. Следуя Калману [86], обозначим через решение матричного уравнения Риккати с конечным условием Тогда имеет место соотношение

которое показывает, что действительно является решением уравнения Риккати. Доказательство остальной части теоремы будет получено позднее.

Назовем установившимся решением уравнения Риккати. Этому установившемуся решению соответствует установившийся оптимальный закон управления

где

Рассматривая устойчивость установившегося закона управления, получим следующий результат.

Теорема 3.6. Рассмотрим задачу построения детерминированного линейного оптимального регулятора и предположим, что выполняются допущения теоремы 3.5 относительно матриц Тогда, если система

а) одновременно полностью управляема и полностью восстанавливаема или

б) экспоненциально устойчива, то:

1) оптимальный закон управления в установившемся режиме

экспоненциально устойчив,

2) закон управления (3.191) минимизирует критерий

для всех Минимальная величина критерия (3.192), которая достигается при установившемся законе управления, определяется выражением

Точное доказательство этих результатов дано Калмапом [86]. Здесь приводятся только основные соображения. Если выполняется условие (а) или (б) теоремы 3.6, то также выполняется условие (а) или (б) теоремы 3.5. Из этого следует, что решение уравнения Риккати с условием сходится к при Для соответствующего установившегося закона управления имеем

Так как интеграл сходится, а матрицы удовлетворяют условиям (3.182), должны сходиться к нулю при . Предположим теперь, что замкнутая система не является асимптотически устойчивой. Тогда существует такое начальное состояние, для которого не достигает нуля при Ясно, что это находится в противоречии с полной восстанавливаемостью системы, если выполняется условие а также с предположением об экспоненциальной устойчивости системы, если выполняется условие (б). Поэтому замкнутая система должна быть асимптотически устойчивой. Экспоненциальная устойчивость системы следует из свойств ее однородности.

Том самым доказывается первая часть теоремы; вторую часть можно доказать следующим образом. Предположим, что существует другой закон управления, который дает меньшую величину критерия (3.192). Поскольку величина критерия (3.192) конечна при использовании установившегося оптимального закона управления, этот другой закон должен также давать конечную величину. Тогда по таким же соображениям, как и для установившегося закона

Рис. 3.12. Схематическое представление механизма для намотки проволоки.

управления, этот закон управления должен быть асимптотически устойчив, и для такого закона управления имеем

Однако, поскольку правая часть этого выражения минимизируется с помощью установившегося закона управления, не существует другого закона управления, который давал бы меньшую величину левой части выражения. Тем самым доказывается вторая часть теоремы 3.6. Кроме того, это доказывает вторую часть теоремы 3.5, так как при допущениях (в) и этой теоремы закон управления с обратной связью в установившемся режиме минимизирует критерий (3.192) при всех . Из этого следует, что уравнение Риккати сходится к при всех Проиллюстрируем результаты, полученные в этом разделе.

Пример 3.10. Механизм для намотки проволоки

В качестве примера простой системы с переменными параметрами рассмотрим механизм для намотки проволоки, представленный на рис. 3.12. Двигатель постоянного тока вращает катушку, на которую наматывается проволока. Скорость намотки проволоки на катушку поддерживается постоянной. Из-за увеличения диаметра катушки возрастает момент инерции; кроме того, для поддержания постоянства скорости намотки необходимо уменьшать угловую скорость вращения. Обозначим через угловую скорость катушки, через — момент инерции катушки якоря двигателя, а через — напряжение на входе усилителя мощности, который

управляет двйгателем постоянного тока. Тогда получаем

где х — коэффициент пропорциональности между моментом двигателя и входным напряжением, — коэффициент трения. Кроме того, обозначим через радиус катушки; при этом скорость намотки проволоки будет определяться выражением

Введем переменную состояния

Тогда система будет описываться уравнениями

Предположим, что скорость вращения катушки регулируется таким образом, что скорость движения проволоки поддерживается постоянной и равной Зависимости и от времени тогда можно установить следующим образом. Предположим, что на коротком интервале времени радиус катушки возрастает от до Увеличение объема проволоки, намотанной на катушку, пропорционально Объем также пропорционален так как по предположению проволока наматывается с посюянной скоростью. Тогда имеем

где с — константа. После интегрирования получим

где — другая константа. Однако если радиус возрастает от до то момент инерции возрастает на величину, пропорциональную Таким образом, имеем

где с — константа. После интегрирования получим

где — тоже константа.

Рассмотрим теперь задачу такого регулирования системы, при

котором скорость намотки поддерживается постоянной и равной величине Номинальное решение которое соответствует этому случаю, можно найти следующим образом. Если , то имеем

Номинальная входная переменная находится из дифференциального уравнения состояния

Введем смещенные переменную состояния, входную и управляемую переменные соответственно

Эти переменные удовлетворяют уравнениям

Выберем критерий в виде

Тогда уравнение Риккати примет вид

с конечным условием

В этом случае является скалярной функцией. Скалярный коэффициент усиления обратной связи определяется выражением

Рис. 3.13. Поведение оптимального коэффициента усиления в задаче намотки проволоки при различных значениях конечного момента времени

Выберем следующие численные значения:

На рис. 3.13 показано изменение оптимального коэффициента усиления для конечных моментов времени и 20 с. Отметим, что для всех величин поведение коэффициента усиления в установившемся режиме одинаковое, только вблизи конечного момента времени наблюдаются некоторые изменения. Видно, что коэффициент усиления в установившемся состоянии изменяется во времени. Реализовать переменный коэффициент усиления весьма неудобно. В рассматриваемом случае с использованием постоянного коэффициента усиления обратной связи могут быть получены практически адекватные характеристики,