1.11.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

В последних главах настоящей книги стохастические процессы почти всегда представляются с использованием линейных дифференциальных систем, возбуждаемых белым шумом. Это представление стохастического процесса обычно имеет следующую форму. Предположим, что

где

а — белый шум. Выбирая такое представление стохастического процесса V, его можно моделировать. Использоваййе таких моделей может быть обосновано следующим образом.

а) В природе часто встречаются стохастические явления, связанные с воздействием быстро меняющихся флуктуаций на инерционную дифференциальную систему. Типичным примером белого шума, действующего на дифференциальную систему, является тепловой шум в электронной цепи.

б) Как будет видно из дальнейшего, в линейной теории управления почти всегда рассматриваются только среднее значение и. ковариация Стохастического процесса. Для линейной модели ксегда можно аппроксимировать любые полученные экспериментально характеристики среднего значения и ковариационной матрицы с произвольной точностью.

в) Иногда возникает задача моделирования стационарного стохастического процесса с известной спектральной плотностью энергии. В этом случае всегда имеется возможность генерировать стохастический процесс как процесс на выходе линейной дифференциальной системы; при этом матрица спектральных плотностей анергии аппроксимирует с произвольной точностью матрицу спектральных плотностей энергии исходного стохастического процесса.

Примеры 1.36 и 1.37, так же как и задача 1.11, иллюстрируют метод моделирования.

Пример 1.36. Дифференциальная система первого порядка

Предположим, что измеренная ковариационная функция стохастического скалярного процесса о котором известно, что он является стационарным, описывается экспоненциальной функцией

Этот процесс можно моделировать при как состояние дифференциальной системы первого порядка (см. пример 1.35)

где — белый шум интейсивности — стохастическая величина с нулевым средним и дисперсией .

Пример 1.37. Смесительный бак

Рассмотрим смесительный бак из примера 1.31 (разд. 1.10.3) и вычислим для него матрицу дисперсий выходной переменной примере 1.31 предполагалось, что флуктуации концентраций в потоках описываются экспоненциально коррелированными шумами и, таким образом, могут быть смоделированы как решение системы первого порядка, возбуждаемой белым шумом. Добавим теперь к дифференциальному уравнению смесительного бака уравнения моделей стохастических процессов Получим

где

Здесь — скалярный белый шум интенсивности чтобы

получить дисперсию процесса равной примем Для процесса используем аналогичную модель. Таким образом, получим систему уравнений

где Двумерный белый шум имеет интенсивность

Предположим, что в тогда решение уравнения (1.522) относительно матрицы дисперсии Q имеет вид

где

Дисперсия процесса равна , что согласуется с результатом примера 1.32 (разд. 1.10.4).