6.2.9. ДУАЛЬНОСТЬ

Как и в непрерывном случае, теории фильтрации и дискретных регуляторов оказываются связанными посредством понятия дуальности. Удобно ввести следующее определение.

Определение 6.9. Рассмотрим линейную дискретную систему

Кроме того, рассмотрим систему

где — произвольное фиксированное целое число. Тогда систему (6.121) назовем дуальной системе (6.120) относительно Очевидно, имеем следующий результат.

Теорема 6.18 Исходная система (6.120) дуальна системе (6.121) относительно .

Управляемость и восстанавливаемость исходных и дуальных систем связаны следующим образом.

Теорема 6.19. Рассмотрим систему (6.120) и дуальную ей систему (6.121).

а) Система (6.120) является полностью управляемой в том и только том случае, если система, дуальная ей, полностью восстанавливаема.

б) Система (6.120) полностью восстанавливаема в том и только том случае, если система, дуальная ей, полностью управляема.

в) Предположим, что система (6.120) имеет постоянные параметры. Тогда система (6.120) является стабилизируемой в том и только том случае, если система (6.121) обнаруживаема.

г) Предположим, что система (6.120) имеет постоянные параметры. Тогда система (6.120) является обнаруживаемой в том и только том случае, если система (6.121) стабилизируема.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.41 (разд. 1.8).