6.3.3. АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК СЛЕЖЕНИЯ В УСТАНОВИВШЕМСЯ И ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМАХ

В настоящем разделе изучается реакция линейной дискретной системы управления на эталонное воздействие. Рассматриваются как установившаяся, так и переходная составляющие. Принимаются с дедующие допущения.

1. Принцип проектирования 6.1 удовлетворяется, т. е. система-управления асимптотически устойчива.

2. Система управления имеет постоянные параметры. а весовые матрицы постоянные.

3. Возмущающая переменная и шум наблюдения принимаются равными нулю.

4. Эталонная переменная может быть представлена в виде

где постоянная часть — стохастический вектор с матрицей моментов второго порядка

а переменная часть — стационарный в широком смысле векторный стохастический процесс с нулевым средним и матрицей спектральных плотностей

Принимая нулевые начальные условия, напишем z-преобразование управляемой переменной и z-преобразование входной переменной:

Здесь — передаточная функция системы, — матричная передаточная функция от эталонной переменной до входной переменной системы управления, -преобразование

эталонной переменной. Система управления может быть замкнутой либо разомкнутой. Поэтому, если - z-преобразование ошибки слежения имеем

Чтобы вывести выражения для установившихся средних значений квадратов ошибки слежения и входной переменной, исследуем раздельно составляющие от постоянной и переменной частей эталонной переменной. Постоянная часть эталонной переменной дает в результате следующие установившиеся реакции ошибки слежения и входной переменной:

Из разд. 6.2.11 следует, что в установившемся состоянии реакция ошибки слежения на переменную часть эталонной переменной имеет матрицу спектральных плотностей вида

Следовательно, установившееся среднее значение квадрата ошибки слежения может быть представлено в виде

Это выражение можно переписать следующим образом:

Аналогично установившееся среднее значение квадрата входной переменной может быть выражено в виде

Перед дальнейшим анализом этих выражений введем следующее дополнительное допущение.

5. Постоянная и переменная части эталонной переменной имеют некоррелированные компоненты, т. е. являются диагональными и могут быть записаны в следующей форме:

где — размерность эталонной и управляемой переменных.

При этом допущении выражение (6.188) принимает вид

где обозначает диагональный элемент матрицы М. Следуя гл. 2, введем теперь следующие определения.

Определение 6.14. Пусть — скалярный стационарный в широком смысле дискретный стохастический процесс с функцией спектральной плотности Тогда нормированная полоса частот 0 этого процесса определяется множеством нормированных частот , для которого

Здесь а, выбирается таким образом, что полоса частот содержит заданную часть 1—е (где. — малая величина, по сравнению с

1) от половины энергии процесса, т. е.

Как и в гл. 2, где полоса частот являлась интервалом , определим как нормированную полосу пропускания процесса. Если полоса частот представляет собой интервал определим как нормированную частоту среза процесса.

В особом случае, когда дискретный процесс получается дискретизацией непрерывного процесса, полоса пропускания (ненормированная) и частота среза определяются из соответствующих нормированных величин с помощью соотношения

где А — период, дискретности, а — угловая частота (ненормированная).

Перед тем как вернуться к анализу установившегося среднего значения квадрата ошибки слежения, введем еще одно понятие.

Определение 6.15. Пусть — передаточная функция асимптотически устойчивой линейной дискретной системы управления с постоянными параметрами. Тогда определим нормированную полосу частот, звена системы управления как множество нормированных частот для которых

Здесь — заданное число, малое по сравнению с — весовая матрица для среднего значения квадрата ошибки слежения, а диагональный элемент матрицы

Здесь также будем говорить о полосе пропускания и частоте среза звена, если они существуют. Если дискретная система получается при дискретизации непрерывной системы, то полоса пропускания (ненормированная) и частота среза могут быть найдены с помощью соотношения (6.194).

Теперь можно сформулировать следующее положение, которое вытекает из рассмотрения уравнения (6.191).

Принцип проектирования 6.2. Пусть - -матричная передаточная функция асимптотически устойчивой линейной кретной системы управления с постоянными параметрами, для которой и постоянная, и переменная части эталонной переменной имеют некоррелированные компоненты. Тогда для того, чтобы получить малое установившееся среднее значение квадрата ошибкц слежения, необходимо, чтобы полоса частот каждого из звеньев содержала полосу частот соответствующей компоненты эталонной переменной.

Если компонента эталонной переменной, может иметь ненулевую постоянную часть, то выражение должно быть сделано малым (предпочтительно нулевым). -

Рассмотрим теперь установившееся среднее значение квадрата входной переменной, определяемое выражением (6.189). При допущении 5 это выражение может быть переписано в виде

Поскольку не должно быть слишком большим, сформулируем следующее положение.

Принцип проектирования 6.3. Чтобы получить малое установившееся среднее значение квадрата входной переменной в асимптотически устойчивой линейной дискретной системе управления с постоянными параметрами и -мерной эталонной переменной с некоррелированными компонентами, значение

нужно сделать малым в нормированной полосе частот компоненты эталонной переменной при .

Как и в гл. 2, на первый член в (6.196) не накладывается ограничений, так как рассматриваются только флуктуации входной переменной относительно заданной точки.

Завершим этот раздел обсуждением поведения реакции системы управления на эталонную переменную в переходном режиме. Как и в непрерывном случае, определим время установления среднего значения квадрата ошибки слежения, среднего значения квадрата входной переменной или другой величины, например такой, как время, за которое указанная характеристика достигает своего установившегося значения с заданной точностью. Это время установления может быть представлено как число интервалов или выражено в секундах, если известен период дискретности. Очевидно, что весьма желательным является быстрое установление среднего значения квадрата ошибки слежения после включения системы либо действия возмущений. Таким образом, имеем следующее правило проектирования.

Принцип проектирования 6.4. Время установления среднего значения квадрата ошибки слежения дискретной системы управления должно быть малым, насколько это возможно.

Поведение в переходном режиме среднего значения квадрата входной переменной либо других интересующих величин может быть исследовано с помощью методов, аналогичных методам, применяемым для непрерывных систем. Для различных стохастических процессов, оказывающих влияние на систему управления, принимаются математические модели в виде дискретных систем, возбуждаемых дискретным белым шумом. Матрица дисперсий состояния системы, образованной путем добавления к разностному уравнению системы управления уравнений этих моделей, может быть вычислена согласно теореме 6.22 (разд. 6.2.12). Эта матрица дисперсий позволяет получить все требуемые данные. Процедуру иллюстрирует пример в конце раздела. Часто, однако, удовлетворительная оценка времени установления заданного параметра может быть получена при вычислении реакции системы управления на постоянную

часть эталонной переменной, что дает простой метод вычисления переходных процессов.

Для систем управления с постоянными параметрами информация о времени установления часто может быть получена из анализа расположения характеристических чисел замкнутой системы. Из разд. 6.2.4 известно, что все реакции являются линейной комбинацией функций вида , где — характеристическое число. Поскольку время, в течение которого достигает 1% начального значения 1, составляет (допуская, что )

интервалов времени, оценка 1% времени установления асимптотически устойчивой линейной дискретной системы с постоянными параметрами равна

интервалов времени, где являются характеристическими числами системы управления. Как и в случае непрерывных систем, формула может приводить к ошибочным результатам, поскольку некоторые характеристические числа могут отсутствовать в реакций некоторых переменных.

Завершим этот раздел указанием, что, если дискретная система описывает непрерывную систему с дискретизацией, время установления, полученное из дискретной модели, может дать совершенно ошибочное представление о времени установления непрерывной системы Это объясняется тем, что иногда импульсная система показывает вполне удовлетворительное поведение в моменты квантования, тогда как между моментами квантования происходят колебания, которые не затухают в течение продолжительного времени. В последующих разделах приводятся примеры таких ситуаций.

Пример 6.12. Цифровая система управления положением с пропорциональной обратной связью

Проиллюстрируем результаты данного раздела на системе со скалярными входной и выходной переменными, в качестве которой рассмотрим цифровую систему управления положением из примера

6.11. Здесь установившиеся характеристики слежения могут быть проанализированы при рассмотрении скалярной передаточной функции которая после вычисления может быть приведена к виду

Рис. 6.9. Амплитудно-частотные характеристики цифровой системы управления положением при различных значениях коэффициента А.

На рис. 6.9 показаны графики функции при с и значениях в пределах от 5 до 100 В/рад. Видно, что самое благоприятное значение X находится около 15 В/рад; при этом значении полоса является максимальной и отсутствуют нежелательные резонансные эффекты.

Чтобы вычислить среднее значение квадрата ошибки слежения и среднее значение квадрата входного напряжения, предположим, что эталонная переменная описывается моделью

Здесь образует последовательность скалярных некоррелиро ванных стохастических величин с дисперсией . При периоде дискретности 0,1 с она представляет собой импульсный экспоненциально коррелированный шумовой процесс с постоянной времени 5 с. Установившееся среднеквадратическое значение переменной равно 1 рад (пример 6.9).

Для простой замкнутой схемы управления из примера 6.11 входная переменная объекта имеет вид

что приводит к разностному уравнению замкнутой системы

Здесь подставлено значение В/рад. Расширяя вектор

состояния системы путем использования уравнения (6.201), получим

Определим теперь матрицу дисперсий

Здесь предполагается, что так что имеют нулевые средние для всех Обозначая элементы матрицы как , среднее значение квадрата ошибки слежения можно представить в виде

Для среднего значения квадрата входной переменной получаем

На основании теоремы 6.22 для матрицы дисперсий имеем матричное разностное уравнение

где М — матрица матрица в уравнении (6.204), дисперсия процесса . В качестве начального условия этого матричного разностного уравнения выберем

Такой выбор означает, что при объект находится в покое, тогда как начальная дисперсия эталонной переменной

Рис. 6.10. Среднеквадратическая ошибка слежения и среднеквадратическое значение входного напряжения в цифровой системе управления положением.

Рис. 6.11. Реакция цифровой системы управления положением на ступенчатое изменение 1 рад эталонной переменной.

равна установившейся дисперсии 1 рад2. На рис. 6.10 показано изменение среднеквадратического значения ошибки слежения и среднеквадратического значения входного напряжения, Видно, что время установления находится где-то между 10 и 20 периодами дискретности.

Установившаяся среднеквадратическая ошибка слежения приближенно равна 0,4 рад, что является достаточно большой величиной. Это означает, что эталонная переменная не очень хорошо отслеживается. Попытаемся объяснить это. Заметим, что непрерывный экспоненциально коррелированный шум с постоянной времени 5 с (из которого получена эталонная переменная) имеет 1%-ную частоту среза, равную рад/с (разд. 2.5.2). Цифровая система управления положением является слишком

медленной, чтобы удовлетворительно следить за этой эталонной переменной, так как ее 1%-ная частота среза, составляет . При этом также видно, что установившееся среднеквадратическое входное напряжение достигает величины В. Предположим, что максимально допустимое среднеквадратическое входное напряжение равно 25 В; тогда очевидно, что существуют возможности для улучшения системы.

Наконец, на рис. 6.11 показана реакция цифровой системы управления положением на ступенчатое изменение 1 рад эталонной переменной. Из графика видно, что время установления ошибки слежения находится где-то между 10 и 20 периодами дискретности в зависимости от требуемой точности. Из корневого годографа на рис. 6.8 видно, что расстояние между полюсами замкнутой системы и началом координат составляет Соответствующая оценка времени установления, найденная согласно (6.199), равна 20,6 периода дискретности.