1.11. Реакция линейных дифференциальных систем на белый шум

1.11.1. БЕЛЫЙ ШУМ

Довольно часто в практике встречаются скалярные стохастические процессы с нулевым средним, обладающие таким свойством, что величины и являются некоррелированными даже при малых значениях , т. е.

где — «малое» число. Ковариационная матрица таких стохастических процессов в идеализированной форме записывается следующим образом:

Здесь — дельта-функция, рассматривается как интенсивность процесса в момент Такие процессы называются процессами белого шума; смысл термина объясняется позднее. Распространим это понятие на векторные процессы.

Определение 1.30. Пусть — векторный стохастический процесс с нулевым средним и ковариационной матрицей

где . Тогда говорят, что является стохастическим процессом типа белого шума интенсивности .

В том случае, когда интенсивность белого шума постоянна, процесс является стационарным в широком смысле и может быть определена матрица спектральных плотностей. Осуществляя формально преобразование Фурье функции можно видеть, что стационарный в широком смысле процесс типа белого шума имеет матрицу спектральных плотностей

Отсюда следует, что стационарный в широком смысле процесс типа белого шума имеет равную плотность энергии на всех частотах. Вот почему по аналогии со светом такие процессы называются процессами типа белого шума. Этот результат также согласуется с физической интуицией. Процесс с малой корреляцией между двумя близкими значениями и является весьма нерегулярным и, таким образом, содержит энергию на довольно высоких частотах.

К сожалению, при вычислениях общей энергии процесса типа белого шума на основании равенств (1.470) и (1.471) получается бесконечная величина. Это показывает, что, хотя с процессами типа белого шума удобно иметь дело, в природе они не существуют. С математической точки зрения процессы типа белого шума действительно не являются строго определенными. Как будет показано в примере 1.33, белый шум является «производной» процесса с некоррелированными приращениями; однако можно покапать, что такой процесс не имеет производной. Тем не менее, если белый шум по крайней мере один раз проинтегрирован, снова имеется строгое математическое обоснование и могут быть доказаны следующие правила интегрирования.

Теорема 1.51. Пусть — векторный процесс типа белого шума интенсивности — заданные переменные матрицы. Тогда

где I — пересечение — любая весовая матрица,

где I определено выше.

Формально положение (а) можно доказать на основании того, что является процессом с нулевым средним, тогда как (б)

можно подтвердить следующим образом:

Переход от (1.487в) к (1.487г) осуществляется с помощью (1.482), а переход от (1.487г) к (1.487д) следует из свойств дельтафункции. Использовалось также соотношение где А и В — матрицы совместимых размеров.

Положение (в) доказывается аналогично положению (б).

Пример 1.33. Белый шум как производная процесса с некоррелированными приращениями.

В примере 1.29 (разд. 1.10.1) рассматривались процессы с некоррелированными приращениями, которые, как показано, являртся процессами с нулевыми средними и ковариационными матрицами вида

Поступая формально, покажем, что ковариационная матрица производной

состоит из дельта-функции. Для среднего значения процесса (1.489) имеем

Запишем формальное выражение для ковариационной матрицы процесса (1.489):

Определив частные производные, получим

где

Это показывает, что производная процесса с некоррелированными приращениями является процессом типа белого шума. Если каждое приращение процесса имеет матрицу дисперсий вида

то интенсивность белого шума, который является производной нроцесса с некоррелированными приращениями, равна так как (см. пример 1.29)

Значительный интерес представляет случай, когда процесс производная которого — белый шум, является броуновским движением (см. пример 1.29). Процесс типа белого шума, получаемый в данном случае, называется часто гауссовским белым шумом.

В строгой теории процесс типа белого шума никогда не определяется. Вместо этого развивается теория, основанная на процессах с некоррелированными приращениями. В частности, интегралы, рассматриваемые в теореме 1.51, определяются в терминах этих процессов. Рассмотрим интеграл

Он заменяется выражением

где процесс с некоррелированными приращениями, производная которого — белый шум и где

есть разбиение интервала Предел в выражении (1.497) может быть определен таким образом, что существует соответствующая стохастическая переменная, удовлетворяющая свойствам теоремы 1.51. Детальное изложение вопроса читатель может найти в работах [6, 53, 67, 103]. Глубокое и строгое изложение понятия белого шума сделано в работе [73].

Материал этого примера в дальнейшем не используется. Для целей, преследуемых данной книгой, достаточно знать теорему 1.51.