4. ОПТИМАЛЬНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ СОСТОЯНИЯ
4.1. Введение
Во всех вариантах задач регулирования и слежения, решенных в гл. 3, использовалось следующее основное предположение: полный вектор состояния можно измерить точно. Это предположение обычно является нереальным. Наиболее часто встречается случай, когда для данной системы
можно измерить только некоторую линейную комбинацию переменных состояния, обозначаемую через
Величину у, которая, как предполагается, является 
-мерным вектором, где I обычно меньше размерности вектора состояния 
будем называть наблюдаемой переменной.
Задачей этой главы является анализ методов восстановления вектора состояния или определения аппроксимаций вектора состояния по наблюдаемой переменной. В частности, необходимо определить такой функционал 
для которого 
где 
представляет собой восстановленное состояние. Здесь 
— момент начала наблюдений. Отметим, что 
т. е. восстановленное состояние 
является функцией предыдущих наблюдений 
и не зависит от будущих наблюдений 
После того как вектор состояния восстановлен, можно использовать законы управления, полученные в гл. 3 (в которых предполагается, что полный вектор состояния известен), заменяя действительное состояние восстановленным состоянием.
В разд. 4.2 вводится понятие «наблюдатель». Это понятие характеризует динамическую систему, выходная переменная которой со временем приближается к состоянию, которое необходимо восстановить. Хотя в таком подходе в явном виде не учитываются трудности, связанные с присутствием шума, данный подход использует методы восстановления состояния, в которых неявно в некоторой степени применяется фильтрация шума.
В разд. 4.3 рассматриваются все стохастические аспекты, явно и количественно связанные с данной задачей, и получен оптимальный наблюдатель, называемый также фильтром Калмана—Бъюси. Синтез оптимального наблюдателя основан на том факте, что задача разработки такого наблюдателя является «дуальной» по отношению к задаче синтеза оптимального регулятора, рассмотренной в гл. 3.
Наконец, в разд. 4.4 исследуются установившиеся и асимптотические свойства фильтра Калмана — Бьюси. Эти результаты легко получаются на основе оптимальной теории регулирования с использованием свойства дуальности задач оптимального регулирования и наблюдения.
