4.3.2. НЕСИНГУЛЯРНАЯ; ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО НАБЛЮДЕНИЯ ПРИ НЕКОРРЕЛИРОВАННЫХ ШУМЕ, ВОЗБУЖДАЮЩЕМ СОСТОЯНИЕ, И ШУМЕ НАБЛЮДЕНИЙ

В этом разделе рассматривается несингулярная задача оптимального наблюдения, в которой предполагается, что шум, возбуждающий состояние, и шум наблюдений не коррелированы. Эта очень важная задача впервые была решена Калманом и Бьюсег [90]. Решение этой задачи оказало значительное влияние на развитие теории оптимальной фильтрации. Исторический очерк разработки так называемого фильтра Калмана — Бъюси дан в работа [166].

До некоторой степени удивительно, что вывод оптимального фильтра может быть основан на лемме 3.1 (разд. 3.3.3). Однако, прежде чем начать вывод, приведем следующую лемму, которая показывает, каким образом в любом дифференциальном уравнении можно изменить направление отсчета времени.

Лемма 4.1. Рассмотрим диффференциалъные уравнения

и

где

Тогда, если

то решения (4.77) и (4.78) связаны следующим образом:

Эту лемму легко доказать, заменив переменную t переменной .

Приступим теперь к определению оптимального наблюдателя. Вычитая уравнение (4.67) из (4.62а) и используя соотношение (4.62б), получим следующее дифференциальное уравнение для ошибки восстановления

где

где — пока еще произвольная матричная функция. Обозначим через матрицу дисперсий а через — математическое ожидание

Теперь напишем

Используя соотношение (1.469), можно записать выражение для среднего значения квадрата ошибки восстановления в следующем виде:

Первый член этого выражения, очевидно, достигает минимума, когда Это можно обеспечить, полагая так как на основании теоремы 1.52 (разд. 1.11.2) e(t) удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению

Можно обеспечить выбирая начальное условие, для наблюдателя в виде

Так как второй член выражения (4.86) не зависит от то его можно минимизировать независимо. Из теоремы 1.52 (разд. 1.11.2) получаем следующее дифференциальное уравнение для

Соответствующим начальным условием является

Введем теперь дифференциальное уравнение для матричной

функции которое получается из уравнения (4.89) путем обращения времени (лемма 4.1):

Здесь

при . В уравнении (4.91) используем конечное условие

Из леммы 4.1 непосредственно следует

Теперь применим лемму 3.1 (разд. 3.3.3) к уравнению (4.91). Эта лемма утверждает, что матрица достигает минимума, если матрица выбирается как где

В этом выражении — решение уравнения (4.91), где матрица К заменяется на т.е.

с конечным условием

Минимальная величина равна если минимизация проводится в смысле

Обращая время в уравнении (4.96), получаем, что матрица дисперсий минимизируется в смысле

если выбрать , где ,

и матрица удовлетворяет матричному уравнению Риккати

с начальным условием

Так как из (4.99) следует

для любой положительно определенной симметрической матрицы то приходим к заключению, что матрица коэффициентов усиления (4.100) оптимизирует наблюдатель. Кроме того, из выражения (4.86) следует, что для оптимального наблюдателя среднее значение квадрата ошибки восстановления определяется выражением

где — матрица дисперсий

В заключение отметим, что полученный результат не зависит от конкретного момента который выбран для минимизации среднего значения квадрата ошибки восстановления. Тогда, если коэффициент усиления определяется в соответствии с выражением (4.100), то среднее значение квадрата ошибки восстановления одновременно минимизируется для всех

Полученные результаты можно суммировать следующим образом.

Теорема 4.5. Рассмотрим задачу оптимального наблюдения, сформулированную в определении 4.3. Предположим, что задача является несингулярной и что шум, возбуждающий состояние, и шум наблюденийне коррелированы. Тогда решение задачи оптимального наблюдения получается путем выбора матрицы коэффициентов усиления

где — решение матричного уравнения Риккати

с начальным условием

Начальное условие для наблюдателя должно быть выбрано в виде

Если удовлетворяются соотношения (4.105) и (4.108), то выражение

минимизируется при всех Матрица дисперсий ошибки восстановления определяется выражением

а среднее значение квадрата ошибки восстановления равно

Отметим, что, как это ни удивительно, решение задачи оптимального наблюдения не зависит от весовой матрицы

Оптимальный наблюдатель в теореме 4.5 известен как фильтр Калмана — Бъюси. В настоящем разделе будет дан вывод этого фильтра в предположении, что фильтр имеет форму наблюдателя. В первоначальном выводе Калмана и Бьюси [90], однако, доказывается, что этот фильтр является линейным оценивателем с минимальным средним значением квадрата ошибки, т. е. нельзя найти другой линейный функционал наблюдений и входного воздействия который дает оценку состояния с меньшей средней квадратической ошибкой восстановления. Можно также доказать (см., например, [79]), что если начальное состояние является гауссовым, а шум возбуждающий состояние, и шум наблюдений также являются гауссовыми процессами в виде белого шума, то фильтр Калмана — Бьюси дает оценку состояния которая имеет минимальную среднеквадратическую ошибку восстановления для всех оценок, которые можно получить, обрабатывая данные

Близкое соответствие задач оптимального регулирования и оптимального наблюдения очевидно, поскольку матричное уравнение Риккати для матрицы дисперсий наблюдателя является таким же уравнением Риккати с обращенным временем, которое используется в задаче регулирования. В следующих разделах будет использоваться это соответствие, которое будет называться свойством дуальности, при выводе соотношений для наблюдателей на основе результатов, полученных для регуляторов.

Матрицу коэффициентов усиления можно получить, решая матричное уравнение Риккати (4.106) в реальном масштабе

времени и используя выражение (4.105). С другой стороны, матрицу можно вычислить заранее, запомнить и воспроизвести в процессе восстановления состояние. Заметим, что в отличие от оптимального регулятора, описанного в гл. 3, оптимальный наблюдатель можно реализовать в реальном масштабе времени, так как уравнение (4.106) является дифференциальным уравнением с заданными начальными условиями, тогда как в задаче оптимального регулирования необходимо решать уравнение Риккати при заданных конечных условиях в обратном времени.

Из теоремы 3.3 (разд. 3.3.2) следует, что уравнение Риккати для регулятора можно получить, решая систему дифференциальных уравнений (где — размерность состояния). То же самое нужно выполнить для уравнения Риккати в наблюдателе, как указывалось в задаче 4.3.

Теперь рассмотрим кратко установившиеся свойства оптимального наблюдателя. То, что утверждается здесь, доказывается в разд. 4.4.3. Можно показать, что при нежестких ограничениях решение уравнения Риккати (4.106) для наблюдателя сходится к установившемуся решению которое не зависит от когда начальный момент времени приближается к бесконечности. Для системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в определении 4.3 являются постоянными, установившееся решение Q также является постоянной матрицей и в общем случае представляет собой единственное неотрицательно определенное решение алгебраического уравнения Риккати для наблюдателя

Это уравнение получается из уравнения (4.106), если принять производную по времени равной нулю.

Соответственно установившемуся решению Q уравнения Риккати для наблюдателя получаем установившуюся матрицу коэффициентов усиления оптимального наблюдателя

В разд. 4.4.3 доказывается, что при нежестких ограничениях яаблюдатель с матрицей коэффициентов усиления К является асимптотически устойчивым. Назовем этот наблюдатель установившимся оптимальным наблюдателем. Поскольку в случае системы с постоянными параметрами установившийся наблюдатель также является наблюдателем с постоянными параметрами, весьма привлекательно использовать установившийся оптимальный наблюдатель, поскольку его легко реализовать. В случае системы с постоянными параметрами установившийся наблюдатель является оптимальным в том смысле, что предел

достигает минимума в сравнении со всеми другими наблюдателями с постоянными параметрами.

Завершим этот раздел следующим обсуждением, в котором ограничимся случаем наблюдателя с постоянными параметрами. Оптимальный наблюдатель обеспечивает компромисс между скоростью восстановления состояния и устойчивостью к шуму наблюдений. Баланс между этими двумя свойствами определяется величинами интенсивностей белого шума и Этот баланс можно изменять, поддерживая интенсивность постоянной и полагая

где М — постоянная положительно определенная симметрическая матрица, — положительный скаляр, который варьируется. Интуитивно ясно, что уменьшение улучшает скорость восстановления состояния, так как при этом можно уделять меньше внимания фильтрации шума наблюдений. Увеличение скорости восстановления сопровождается сдвигом полюсов наблюдателя в левую половину комплексной плоскости. В тех случаях, когда точное значение или неизвестно, целесообразно предположить, что имеет вид (4.115), и изменять до тех пор, пока не получатся удовлетворительные характеристики наблюдателя. Предельные свойства оптимального наблюдателя при или обсуждаются в разд. 4.4.4.

Пример 4.3. Оценка константы

Во многих случаях на практике параметры остаются постоянными на относительно длительных интервалах времени и только изредка изменяются. Для моделирования таких постоянных величин можно представить их в виде состояния невозмущенного интегратора со случайным начальным условием. Тогда пусть представляет собой константу. Предположим

где — скалярная случайная переменная со средним значением и дисперсией Предположим, что эта константа измеряется с шумом наблюдений т. е. наблюдается

где по предположению — белый шум с постоянной скалярной интенсивностью

Оптимальный наблюдатель для описывается выражением

где скалярный коэффициент усиления из (4.105) определяется в виде

Дисперсия ошибки является решением уравнения Риккати

Уравнение (4.120) можно решить точно:

так что

Отметим, что при дисперсия ошибки достигает нуля. Это означает, что в итоге можно получить точную оценку . В результате также имеем Это означает, что не существует проблем, связанных с обработкой новых данных.

Характеристики этого наблюдателя не являются удовлетворительными, когда в действительности константа изредка изменяется или изменяется медленно. В таком случае можно моделировать константу как выход интегратора, возмущаемого белым шумом. Основанием для моделирования процесса таким методом является то, что проинтегрированный белый шум имеет составляющую с очень низкой частотой. Тогда напишем

где — белый шум с постоянной интенсивностью — белый шум, независящий, как и раньше, Легко найти, что установившийся оптимальный наблюдатель описывается уравнением

где

Используя форму передаточной функции, поручаем

где — преобразования Лапласа для соответственно. Видно, что наблюдатель является фильтром первого порядка с коэффициентом усиления, равным единице при нулевой частоте и частоте срыва

Пример 4.4. Система управления положением

В примере 2.4 (разд. 2.3) была рассмотрена система управления положением, которая описывается дифференциальным уравнением состояния

Здесь где обозначает угловое перемещение — угловую скорость Примем, как и в примере 2.4, что возмущающий момент воздействует на вал двигателя. Соответственно дифференциальное уравнение состояния необходимо модифицировать следующим образом:

где - момент инерции всех вращающихся частей. Если случайные изменения возмущающего момента достаточно быстры в сравнении с движением самой системы, то можно предположить, является белым шумом с постоянной скалярной интенсивностью Предположим также, что наблюдаемая переменная определяется выражением

где — белый шум с постоянной скалярной интенсивностью

Вычислим установившийся оптимальный наблюдатель для этой системы. Уравнение Риккати для дисперсии принимает вид

Используя тот факт, что получим следующую систему дифференциальных уравнений, записанную через члены матрицы

Можно найти, что установившееся решение этих уравнений при определяется выражением

где

Отсюда следует, что установившаяся оптимальная матрица коэффициентов имеет вид

Характеристический полином матрицы можно найти в виде

Из этого следует, что полюса установившегося оптимального наблюдателя равны

Примем следующие численные значения параметров:

Предположим, что величина определяется из условия того, что среднеквадратическая величина возмущающего момента равна спектральная плотность постоянна

в диапазоне от —50 до 50 Гц и равна нулю вне этого диапазона частот. Аналогично предположим, что для шума наблюдений, который имеет среднеквадратическую величину около 0,01 рад, функция спектральной плотности постоянна в диапазоне от —500 до 500 Гц и равна нулю вне этого диапазона частот. Вычисления производятся таким образом, как если бы шумы были белыми с интенсивностью, указанной в (4.137), а затем делается проверка, выполняется ли это предположение.

При указанных численных значениях находим, что установившаяся матрица коэффициентов усиления равна

Полюса наблюдателя равны Расположение этих полюсов, очевидно, обеспечивает оптимальный компромисс между скоростью сходимости ошибки восстановления и устойчивостью к шуму наблюдений.

Частоту срыва оптимального наблюдателя можно определить из расположения полюсов. Характеристический полином наблюдателя равен

и представляет собой систему второго порядка с недемпфированной собственной частотой и относительным демпфированием около Недемпфированная собственная частота является также частотой срыва наблюдателя. Так как эта частота весьма мала в сравнении с полосой пропускания шума (~500 Гц) и полосой пропускания частот возмущений (~50 Гц), то можно предположить, что вполне допустимо аппроксимировать оба процесса белым шумом. Необходимо сравнить полосу пропускания частот возмущений и полосу пропускания шума наблюдений с полосой пропускания наблюдателя, так как из дифференциального уравнения для ошибки (4.82) следует, что оба процесса непосредственно влияют на поведение ошибки восстановления. В примере 4.5 в конце разд. 4.3.5 будет построен оптимальный фильтр без аппроксимации шума наблюдений белым шумом с проверкой справедливости этой аппроксимации.

Установившаяся матрица дисперсии ошибок восстановления определяется выражением

Находя квадратные корни из диагональных элементов, получаем, что среднеквадратическая ошибка восстановления положения составляет рад, а соответствующая ошибка для угловой скорости

Завершим этот пример рассмотрением найденного оптимального наблюдателя. Заметим, что фильтр полностью определяется отношением которое можно рассматривать как отношение сигнал — шум. Выражение (4.136) показывает, что при увеличении отношения возрастает, а полюса наблюдателя смещаются все дальше и дальше. В результате быстродействие наблюдателя возрастает, но. он также становится более чувствительным к шуму наблюдений. При поручаем дифференцирующий фильтр, который можно рассматривать следующим образом. В форме передаточной матрицы наблюдатель можно представить как

Здесь — преобразования Лапласа для соответственно. По мере того как шум наблюдений становится меньше и меньше, т. е. выражение (4.141) сходится к

Это означает, что в качестве наблюдаемой переменной рассматривается восстановленное угловое положение и наблюдаемая переменная дифференцируется для того, чтобы получить восстановленную угловую скорость.