Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
4.3.2. НЕСИНГУЛЯРНАЯ; ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО НАБЛЮДЕНИЯ ПРИ НЕКОРРЕЛИРОВАННЫХ ШУМЕ, ВОЗБУЖДАЮЩЕМ СОСТОЯНИЕ, И ШУМЕ НАБЛЮДЕНИЙВ этом разделе рассматривается несингулярная задача оптимального наблюдения, в которой предполагается, что шум, возбуждающий состояние, и шум наблюдений не коррелированы. Эта очень важная задача впервые была решена Калманом и Бьюсег [90]. Решение этой задачи оказало значительное влияние на развитие теории оптимальной фильтрации. Исторический очерк разработки так называемого фильтра Калмана — Бъюси дан в работа [166]. До некоторой степени удивительно, что вывод оптимального фильтра может быть основан на лемме 3.1 (разд. 3.3.3). Однако, прежде чем начать вывод, приведем следующую лемму, которая показывает, каким образом в любом дифференциальном уравнении можно изменить направление отсчета времени. Лемма 4.1. Рассмотрим диффференциалъные уравнения
и
где
Тогда, если
то решения (4.77) и (4.78) связаны следующим образом:
Эту лемму легко доказать, заменив переменную t переменной Приступим теперь к определению оптимального наблюдателя. Вычитая уравнение (4.67) из (4.62а) и используя соотношение (4.62б), получим следующее дифференциальное уравнение для ошибки восстановления
где
где
Теперь напишем
Используя соотношение (1.469), можно записать выражение для среднего значения квадрата ошибки восстановления в следующем виде:
Первый член этого выражения, очевидно, достигает минимума, когда
Можно обеспечить
Так как второй член выражения (4.86) не зависит от
Соответствующим начальным условием является
Введем теперь дифференциальное уравнение для матричной функции
Здесь
при
Из леммы 4.1 непосредственно следует
Теперь применим лемму 3.1 (разд. 3.3.3) к уравнению (4.91). Эта лемма утверждает, что матрица
В этом выражении
с конечным условием
Минимальная величина
Обращая время в уравнении (4.96), получаем, что матрица
если выбрать
и матрица
с начальным условием
Так как из (4.99) следует
для любой положительно определенной симметрической матрицы
где В заключение отметим, что полученный результат не зависит от конкретного момента Полученные результаты можно суммировать следующим образом. Теорема 4.5. Рассмотрим задачу оптимального наблюдения, сформулированную в определении 4.3. Предположим, что задача является несингулярной и что шум, возбуждающий состояние, и шум наблюденийне коррелированы. Тогда решение задачи оптимального наблюдения получается путем выбора матрицы коэффициентов усиления
где
с начальным условием
Начальное условие для наблюдателя должно быть выбрано в виде
Если удовлетворяются соотношения (4.105) и (4.108), то выражение
минимизируется при всех
а среднее значение квадрата ошибки восстановления равно
Отметим, что, как это ни удивительно, решение задачи оптимального наблюдения не зависит от весовой матрицы Оптимальный наблюдатель в теореме 4.5 известен как фильтр Калмана — Бъюси. В настоящем разделе будет дан вывод этого фильтра в предположении, что фильтр имеет форму наблюдателя. В первоначальном выводе Калмана и Бьюси [90], однако, доказывается, что этот фильтр является линейным оценивателем с минимальным средним значением квадрата ошибки, т. е. нельзя найти другой линейный функционал наблюдений Близкое соответствие задач оптимального регулирования и оптимального наблюдения очевидно, поскольку матричное уравнение Риккати для матрицы дисперсий наблюдателя является таким же уравнением Риккати с обращенным временем, которое используется в задаче регулирования. В следующих разделах будет использоваться это соответствие, которое будет называться свойством дуальности, при выводе соотношений для наблюдателей на основе Матрицу коэффициентов усиления времени и используя выражение (4.105). С другой стороны, матрицу Из теоремы 3.3 (разд. 3.3.2) следует, что уравнение Риккати для регулятора можно получить, решая систему Теперь рассмотрим кратко установившиеся свойства оптимального наблюдателя. То, что утверждается здесь, доказывается в разд. 4.4.3. Можно показать, что при нежестких ограничениях решение
Это уравнение получается из уравнения (4.106), если принять производную по времени равной нулю. Соответственно установившемуся решению Q уравнения Риккати для наблюдателя получаем установившуюся матрицу коэффициентов усиления оптимального наблюдателя
В разд. 4.4.3 доказывается, что при нежестких ограничениях яаблюдатель с матрицей коэффициентов усиления К является асимптотически устойчивым. Назовем этот наблюдатель установившимся оптимальным наблюдателем. Поскольку в случае системы с постоянными параметрами установившийся наблюдатель также является наблюдателем с постоянными параметрами, весьма привлекательно использовать установившийся оптимальный наблюдатель, поскольку его легко реализовать. В случае системы с постоянными параметрами установившийся наблюдатель является оптимальным в том смысле, что предел
достигает минимума в сравнении со всеми другими наблюдателями с постоянными параметрами. Завершим этот раздел следующим обсуждением, в котором ограничимся случаем наблюдателя с постоянными параметрами. Оптимальный наблюдатель обеспечивает компромисс между скоростью восстановления состояния и устойчивостью к шуму наблюдений. Баланс между этими двумя свойствами определяется величинами интенсивностей белого шума и
где М — постоянная положительно определенная симметрическая матрица, Пример 4.3. Оценка константы Во многих случаях на практике параметры остаются постоянными на относительно длительных интервалах времени и только изредка изменяются. Для моделирования таких постоянных величин можно представить их в виде состояния невозмущенного интегратора со случайным начальным условием. Тогда пусть
где
где по предположению Оптимальный наблюдатель для
где скалярный коэффициент усиления
Дисперсия ошибки
Уравнение (4.120) можно решить точно:
так что
Отметим, что при Характеристики этого наблюдателя не являются удовлетворительными, когда в действительности константа изредка изменяется или изменяется медленно. В таком случае можно моделировать константу как выход интегратора, возмущаемого белым шумом. Основанием для моделирования процесса таким методом является то, что проинтегрированный белый шум имеет составляющую с очень низкой частотой. Тогда напишем
где
где
Используя форму передаточной функции, поручаем
где Пример 4.4. Система управления положением В примере 2.4 (разд. 2.3) была рассмотрена система управления положением, которая описывается дифференциальным уравнением состояния
Здесь
где
где Вычислим установившийся оптимальный наблюдатель для этой системы. Уравнение Риккати для дисперсии принимает вид
Используя тот факт, что
Можно найти, что установившееся решение этих уравнений при
где
Отсюда следует, что установившаяся оптимальная матрица коэффициентов имеет вид
Характеристический полином матрицы
Из этого следует, что полюса установившегося оптимального наблюдателя равны
Примем следующие численные значения параметров:
Предположим, что величина в диапазоне от —50 до 50 Гц и равна нулю вне этого диапазона частот. Аналогично предположим, что для шума наблюдений, который имеет среднеквадратическую величину около 0,01 рад, функция спектральной плотности постоянна в диапазоне от —500 до 500 Гц и равна нулю вне этого диапазона частот. Вычисления производятся таким образом, как если бы шумы были белыми с интенсивностью, указанной в (4.137), а затем делается проверка, выполняется ли это предположение. При указанных численных значениях находим, что установившаяся матрица коэффициентов усиления равна
Полюса наблюдателя равны Частоту срыва оптимального наблюдателя можно определить из расположения полюсов. Характеристический полином наблюдателя равен
и представляет собой систему второго порядка с недемпфированной собственной частотой Установившаяся матрица дисперсии ошибок восстановления определяется выражением
Находя квадратные корни из диагональных элементов, получаем, что среднеквадратическая ошибка восстановления положения составляет Завершим этот пример рассмотрением найденного оптимального наблюдателя. Заметим, что фильтр полностью определяется отношением
Здесь
Это означает, что в качестве наблюдаемой переменной рассматривается восстановленное угловое положение и наблюдаемая переменная дифференцируется для того, чтобы получить восстановленную угловую скорость.
|
1 |
Оглавление
|