5.5.2. ПОСТОЯННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ

В предыдущем разделе были рассмотрены фильтры с ненулевой заданной точкой. В настоящем разделе исследуется вопрос о постоянных возмущениях, который в некотором отношении подобен задаче управления с ненулевой заданной точкой. Метод, представленный в этом разделе, в некоторой степени отличается от метода, предложенного в разд. 3.7.2. Однако, как и в разд. 3.7.2, будут построены регуляторы с интегрирующим действием.

В задачах управления нередко встречается случай постоянных возмущений. Часто эти возмущения вызываются неточностью определения соответствующих номинальных величин входной переменной, состояния и управляемой переменной. Обычно такие возмущения можно представить с помощью дополнительной постоянной вынужденной составляющей в дифференциальном уравнении состояния

Как и в предыдущем разделе, ограничимся рассмотрением случая с постоянными параметрами. Напишем для управляемой переменной

Предположим, что полное состояние можно наблюдать но все моменты времени. Рассмотрим тогда закон управления

где — матрица коэффициентов усиления, выбираемая в соответствии с некоторым квадратическим критерием оптимальности обычной формы, и где необходимо выбрать постоянный вектор таким образом, чтобы в установившемся состоянии влияние постоянного возмущения на управляемую переменную z исчезло.

Уравнения замкнутой системы с законом управления (5.173) имеют вид

Так как предполагается, что замкнутая система асимптотически устойчива, управляемая переменная постепенно приближается к постоянной величине, которая, как легко видеть, определяется выражением

Введем обозначение

Возникает вопрос, существует ли такая переменная при которой установившаяся величина определяемая выражением (5.175), равна нулю. Как и в задаче управления с ненулевой заданной точкой, должны быть выделены три случая.

а) Размерность z больше размерности и. В этом случае векторное уравнение

представляет собой уравнения, число которых больше числа переменных. Это означает, что в общем случае не существует решения. Обычно при этом делается попытка управлять переменной с помощью входной переменной меньшей размерности и имеется слишком мало степеней свободы.

б) Размерности одинаковы. В этом случае уравнение (5.177) можно решить относительно следующим образом:

Здесь — передаточная матрица замкнутой системы:

Из теоремы 3.10 (разд. 3.7) известно, что обращение матрицы существует, если передаточная матрица разомкнутой системы не имеет нулей в начале координат.

в) Размерность z меньше размерности и. В этом случае существует много степеней свободы, и размерность z можно увеличить, добавляя компоненты к управляемой переменной.

В случае (б), для которого закон управления

обладает таким свойством, что постоянные возмущения компенсируются оптимальным образом. Этот закон управления, который приведен в работе [54], будем называть оптимальным законом управления с нулевой установившейся ошибкой. Очевидно, что этот закон существует, когда и разомкнутая система не имеет нулей в начале координат.

Предположим теперь, что в дополнение к на систему также действуют случайные возмущения, а состояниесистемы может наблюдаться только неполно и с ошибками. Тогда заменим дифференциальное уравнение состояния на уравнение

где — постоянное возмущение, — белый шум с интенсивностью Кроме того, примем для наблюдаемой переменной

где — белый шум с интенсивностью

В этом случае закон управления (5.180) необходимо заменить на

— оценки с минимальным средним значением квадрата ошибки. Оптимальный наблюдатель можно получить, представляя постоянное возмущение в виде

Результирующий установившийся оптимальный наблюдатель, однако, будет иметь нулевую матрицу коэффициентов усиления при оценке так как в соответствии с моделью (5.184) величина не изменяется (ср. с примером 4.3, разд. 4.3.2, оценка константы). Так как на практике изменяется медленно или изредка, то лучше представить в виде

где интенсивность белого шума выбирается таким образом, чтобы увеличение флуктуаций отражало бы аналогичные изменения в медленно меняющемся возмущении. В случае использования этой модели результирующий установившийся оптимальный наблюдатель непрерывно отслеживает и описывается уравнениями

Система управления, являющаяся результатом объединения рассмотренного наблюдателя с законом управления (5.183), обладает гаким свойством, что в отсутствие других возмущений и шума наблюдений постоянное возмущение всегда компенсируется так, что ошибка регулирования или слежения в установившемся состоянии равна нулю [54]. Как и ожидалось, это достигается за счет «интегрирующего действия» регулятора (см. задачу 2.12.3). Процедура, изложенная в этом разделе, позволяет ввести такое интегрирующее действие и одновременно улучшить переходный процесс в системе управления и подавление флуктуирующих возмущений. Эта процедура одинаково легко применима как к многосвязным системам, так и к системам с одним входом и одним выходом.

Нетрудно заметить, что процедуру, изложенную в данном разделе, можно объединить с процедурой, рассмотренной в разд. 5.5.1, для систем слежения или регулирования с ненулевыми заданными точками и при постоянных возмущениях, если выбрать входную переменную следующим образом:

Здесь — оцениваемая заданная точка, которую можно получить, как описывалось в разд 5.5.1, или фактическая заданная точка.

Отметим, что часто можно отслеживать постоянные возмущения от одного или двух источников в обратном направлении. В таком случае можно заменить на

где заданная матрица, — постоянное возмущение с размерностью, меньшей, чем Представляя в виде интегрального белого шума, можно таким способом значительно снизить размерность наблюдателя.

Пример 5.6. Интегральная система управления положением

В этом примере дается построение системы интегрального управления положением. Предположим, что на вход системы поступает постоянное возмущение в форме постоянного момента на валу в дополнение к возмущающему моменту который изменяется быстро. Преобразуем тогда дифференциальное уравнение состояния (5.92) из примера 5.3 (разд. 5.3.2) к виду

Как и в примере 5.3, представим переменную часть возмущающего момента в виде белого шума с интенсивностью V.

Из уравнения (5.189) легко увидеть, что оптимальный закон управления с нулевой установившейся ошибкой описывается выражением

где — соответствующая установившаяся оптимальная матрица коэффициентов усиления обратной связи, а — оценка

Чтобы получить наблюдатель, представим постоянную часть возмущения в виде

где белый шум имеет интенсивность Как и в примере 5.3, наблюдаемая переменная описывается выражением

где — белый шум с интенсивностью Установившийся оптимальный наблюдатель имеет вид

где скалярные коэффициенты усиления определяются из установившегося решения соответствующего уравнения Риккати для наблюдателя. При численных значениях из примера 5.3 и

следует, что эти коэффициенты усиления равны

Значение (5.194) предполагает, что среднеквадратическая величина приращения за период 1 с составляет Этот момент эквивалентен входному напряжению Полюса наблюдателя, соответствующие коэффициентам усиления (5.195), равны

Подставляя закон управления (5.190) в уравнение наблюдателя (5.193), легко установить, что регулятор имеет полюс в начале координат и поэтому оказывает интегрирующее действие, как и ожидалось. В качестве матрицы выберем установившуюся оптимальную

Рис. 5.10. Реакция системы управления положением с нулевой установившейся ошибкой на постоянный момент на валу двигателя.

матрицу коэффициентов усиления (5.90), полученную в примере 5.3. Соответствующие полюса регулятора равны На рис. 5.10 приведен переходный процесс в системе управления из нулевых начальных условий на постоянное возмущение Видно, что максимальное изменение углового перемещения, вызванного этим постоянным моментом, не превышает 0,008 рад.