3.2. Улучшение динамических свойств линейных систем с помощью обратной связи

3.2.1. ЛИНЕЙНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

В гл. 2 было показано, что важным аспектом в разработке систем управления с обратной связью является устойчивость системы. Устойчивость системы должна быть обеспечена во всех случаях ее использования. Иногда основная задача обратной связи состоит в стабилизации неустойчивой системы или, если переходный процесс не затухает достаточно быстро, в улучшении ее динамических свойств.

В данном разделе рассматриваются вопросы улучшения динамических свойств линейных систем с помощью обратной связи.

Рассмотрим линейную нестационарную систему, описываемую дифференциальным уравнением состояния

Если предположить, что полное состояние системы можно точно измерить в любой момент времени, то можно реализовать лилейный закон управления вида

где переменная матрица коэффициентов усиления обратной связи, а - новая входная переменная. Если этот закон управления используется в системе (3.1), то замкнутая система управления вписывается следующим дифференциальным уравнением состояния:

Устойчивость этой системы зависит, конечно, от поведения матриц а также от матрицы коэффициентов Здесь удобно ввести следующую терминологию.

Определение 3.1. Линейный закон управления

называется асимптотически устойчивым законом управления для системы

если замкнутая система

является асимптотически устойчивой.

Если система (3.5.) имеет постоянные параметры и матрица выбрана постоянной, то устойчивость закона управления (3.4) определяется характеристическими числами матрицы . В следующем разделе будет показано, что при нежестком ограничении (система должна быть полностью управляемой) все характеристические числа для замкнутого контура могут быть произвольно размещены на комплексной плоскости путем соответствующего выбора матрицы (конечно, при ограничении, что комплексные полюса образуют комплексно сопряженные пары). Если все полюса замкнутого контура находятся в левой полуплоскости, то система, очевидно, асимптотически устойчива.

В следующем разделе будет также показано, что в случае систем с одним входом, т. е. систем со скалярной переменной и, обычно

существует единственная матрица усиления для заданной группы полюсов замкнутого контура.

В книге Мелса [127] приведена программа определения этой матрицы с помощью ЦВМ, записанная на языке ФОРТРАН. В случае систем со многими входными переменными заданное распределение полюсов обычно может достигаться при различных выборах матрицы

Пример 3.1. Стабилизация перевернутого маятника

Дифференциальное уравнение состояния для системы управления положением перевернутого маятника из примера 1.1 (разд. 1.2.3.) имеет вид

Рассмотрим закон управления с постоянной настройкой

Из этого следует, что для системы (3.7) и закона управления (3.8) имеем

Характеристический полином этой матрицы равен

Предположим, что все полюса замкнутой системы необходимо расположить в точке —а. Тогда характеристический полином замкнутого контура записывается в виде

- Приравнивая коэффициенты в выражениях (3.10) и (3.11), получим следующие уравнения относительно

Используя численные значения из примера 1.1 и полагая находим из этих линейных уравнений следующий закон управления:

Пример 3.2. Смесительный бак

Смесительный бак из примера 1.2 (разд. 1.2.3) является примером системы с многими входными переменными. При численных значениях, взятых из примера 1.2, линеаризованное уравнение состояния системы имеет вид

Рассмотрим закон управления с постоянной настройкой

Из (3.14) и (3.15) следует, что характеристический полином замкнутого контура определяется выражением

Легко установить, что этот характеристический полином замкнутой системы можно получить при различных значениях коэффициентов усиления Например, три следующие матрицы коэффициентов усиления обратной связи:

дают характеристический полином так что характеристические числа замкнутой системы равны Отметим, что в законе управления, соответствующем первой матрице усиления, не используется вторая входная переменная, во второй матрице не используется первая переменная, тогда как в третьем законе управления обе входные переменные управляют системой.

На рис. 3.1 показаны реакции трех соответствующих замкнутых систем на начальные условия

Отметим, что, несмотря на одинаковые полюса этих замкнутых систем, наблюдаются значительные различия в их реакциях.